- •Условие перпендикулярности двух векторов
- •Векторное произведение
- •Свойства [править]Геометрические свойства векторного произведения
- •[Править]Алгебраические свойства векторного произведения
- •Комплексное число
- •Определения
- •6)Решение уравнения .
- •7)Геометрическая интерпертация компл. 4исел.
- •8) Деление.
- •11) Алгоритм деления с остатком
- •12) Корни многочлена.
- •1. Сложение матриц, имеющих один и тот же размер.
- •2. Умножение матриц подходящего размера (матрицу, имеющую n строк, можно умножить справа на матрицу, имеющую n столбцов).
- •3. Умножение матрицы на элемент основного кольца или поля.
- •Теорема Лапласа
- •Векторные (линейные) пространства
- •Координаты вектора в пространстве
- •Определение линейного пространства. Изоморфизм
- •Подпространство
- •[Править]Свойства подпространств
- •Векторное пространство Определение
- •Подпространство векторного пространства
- •Матрица перехода
- •Определение
- •Характеристические корни и собственные значения
- •Собственные значения
- •Линейные преобразования с простым спектром.
- •Процесс ортогонализации Грама--Шмидта в конечномерном евклидовом пространстве
- •Уравнения прямой на плоскости
- •[Править]Общее уравнение прямой
- •12.5. Прямая линия в пространстве. Основные задачи
Матрица перехода
Координаты вектора в базисе -- это коэффициенты разложения вектора по базису , где .
Пусть даны два базиса и , причем , , .
Определение. Матрица
-ый столбец которой составлен из координат вектора в базисе , называетсяматрицей перехода от базиса к . Имеем .
Лемма. Пусть -- базис, а и -- матрицы размера над полем , причем . Тогда .
Теорема. Матрица перехода от базиса к невырождена.
Для любого базиса и любой невырожденной квадратной матрицы порядка существует и при том единственный базис с матрицей перехода , т.е. .
Теорема. Если -- матрица перехода от базиса к , то для любого вектора справедливо равенство , где и -- столбцы координат вектора в базисах и соответственно, т.е. .
Определение. Биекция линейного пространства над полем на линейное пространство над полем называется изоморфизмом линейных пространств, если для любых векторов и .
Следствие. Справедливы равенства , и . Если система линейна независима, то система тоже линейна независима. Отображение -- изоморфизм.
Определение. Два линейных пространства называются изоморфными, если существует изоморфизм одного пространства на другое.
Теорема. Два конечномерных пространства над полем изоморфны тогда и только тогда, когда .
Следствие. Любое -мерное векторное пространство изоморфно . Отображение определено так: .
30)
Определение
Пусть G — заданная группа и W — векторное пространство. Тогда представление группы G — это отображение, ставящее в соответствие каждому элементу невырожденное линейное преобразование причем выполняются свойства
Раздел математики, который изучает представления групп, называется теорией представлений (групп). Представление можно понимать как запись группы с помощью матриц или преобразований линейного пространства. Смысл использования представлений групп заключается в том, что задачи из теории групп сводятся к более наглядным задачам из линейной алгебры. Этим объясняется большая роль теории представлений в различных вопросах алгебры и других разделов математики. Например, одномерные представления симметрической группы Sn и знакопеременной группы An играют большую роль при доказательстве невозможности разрешения в радикалах алгебраического уравнения степени выше 4. В квантовой механике важную роль играют бесконечномерные (в которых векторное пространство — гильбертово) представления групп (в первую очередь, группы Лоренца).
Матрица линейного преобразования
В примере 19.4 было показано, что преобразование -мерного пространства, заключающееся в умножении координатных столбцов векторов на фиксированную матрицу, является линейным преобразованием. В этом разделе мы покажем, что все линейные преобразования конечномерного пространства устроены таким же образом. Пусть -- -мерное линейное пространство, в котором задан базис , -- линейное преобразование. Возьмем произвольный вектор . Пусть -- его координатный столбец. Координатный столбец вектора обозначим . Запишем разложение вектора по базису пространства . Для образа этого вектора получим ( 19 .2) Векторы имеют какие-то координатные столбцы, обозначим их , , ..., соответственно. В этой записи первый индекс показывает номер координаты, а второй индекс -- номер вектора. Соответственно, Подставим это выражение в равенство ( 19.2 ) и, используя предложение 14.3 , изменим порядок суммирования Это равенство означает, что -той координатой вектора служит . Составим матрицу из координатных столбцов векторов , ..., Вычислим произведение матрицы на столбец Мы видим, что -ый элемент столбца совпадает с -ой координатой вектора . Поэтому ( 19 .3) Это означает, что в выбранном базисе действие любого линейного преобразования сводится к умножению матрицы на координатный столбец вектора. Матрица называется матрицей линейного преобразования . Еще раз напомним, как она составлена: первый столбец является координатным столбцом образа первого базисного вектора, второй столбец -- координатным столбцом образа второго базисного вектора и т.д. Пример 19 . 5 Найдем матрицу линейного преобразования из примера 19.1 . Выберем какой-нибудь базис . Тогда Следовательно, первый столбец матрицы имеет вид . Аналогично Второй столбец матрицы имеет вид . В итоге Пример 19 . 6 Найдем матрицу линейного преобразования из примера 19.2 . Угол возьмем равным . В качестве базиса возьмем привычный ортонормированный базис i , j . Из рисунка 19.7 видно, что вектор имеет координаты и . Рис. 19 . 7 .Координаты образов базисных векторов при преобразовании поворота Поэтому координатный столбец образа первого базисного вектора имеет вид . Координаты образа второго базисного вектора равны и , его координатный столбец имеет вид . В итоге получаем, что в базисе i , j матрица поворота на угол имеет вид
31)
Характеристический многочлен матрицы — это многочлен, определяющий её собственные значения.