12.5. Прямая линия в пространстве. Основные задачи

Угол между прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности прямых

Пусть прямые L₁ и L₂ заданы уравнениями

    

Под углом между этими прямыми понимают угол между направляющими векторами   и  (см. рис. 78). Поэтому, по известной формуле для косинуса угла между векторами, получаем

    или

        (12.16)

Для нахождения острого угла между прямыми L₁ и L₂ числитель правой части формулы (12.16) следует взять по модулю.

Если прямые L₁ и L₂ перпендикулярны, то в этом и только в этом случае имеем cosСледовательно, числитель дроби (12.16) равен нулю, т. е. 

Если прямые L₁ и L₂ параллельны, то параллельны их направляющие векторы   и  . Следовательно, координаты этих векторов пропорциональны, т. е.  .

Условие, при котором две прямые лежат в одной плоскости

Пусть прямые L₁ и L₂ заданы каноническими уравнениями

Их   направляющие   векторы   соответственно     и   (см. рис. 79).

Прямая L₁ проходит через точку   радиус-вектор которой обозначим через  ; прямая L₂ проходит через точку  , радиус-вектор которой обозначим через  . Тогда

        

Прямые L₁ и L₂ лежат в одной плоскости, если векторы  ,   и   компланарны. Условием компланарности векторов явля­тся равенство нулю их смешанного произведения:  , т. е.

      

При выполнении этого условия прямые L₁ и L₂ лежат в одной плоско­сти, то есть либо пересекаются, если  , либо параллельны, если  .

45)

Взаимное расположение нескольких прямых на плоскости

Две прямые, заданные уравнениями

или

пересекаются в точке

Угол γ₁₂ между пересекающимися прямыми определяется формулой

При этом под γ₁₂ понимается угол, на который надо повернуть первую прямую (заданную параметрами A₁, B₁, C₁, k₁ и b₁) вокруг точки пересечения против часовой стрелки до первого совмещения со второй прямой.

Эти прямые параллельны, если A₁B₂ − A₂B₁ = 0 или k₁ = k₂, и перпендикулярны, если A₁A₂ + B₁B₂ = 0 или  .

Любую прямую, параллельную A₁x + B₁y + C₁ = 0, можно выразить уравнением A₁x + B₁y + C = 0. При этом расстояние между ними будет равно

Если знак перед радикалом противоположен C₁, то δ будет положительным, когда вторая прямая и начало координат лежат по разные стороны от первой прямой.

Для того, чтобы три прямые

пересекались в одной точке или были параллельны друг другу, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие

Если   и  , то прямые   и   перпендикулярны.