- •Условие перпендикулярности двух векторов
- •Векторное произведение
- •Свойства [править]Геометрические свойства векторного произведения
- •[Править]Алгебраические свойства векторного произведения
- •Комплексное число
- •Определения
- •6)Решение уравнения .
- •7)Геометрическая интерпертация компл. 4исел.
- •8) Деление.
- •11) Алгоритм деления с остатком
- •12) Корни многочлена.
- •1. Сложение матриц, имеющих один и тот же размер.
- •2. Умножение матриц подходящего размера (матрицу, имеющую n строк, можно умножить справа на матрицу, имеющую n столбцов).
- •3. Умножение матрицы на элемент основного кольца или поля.
- •Теорема Лапласа
- •Векторные (линейные) пространства
- •Координаты вектора в пространстве
- •Определение линейного пространства. Изоморфизм
- •Подпространство
- •[Править]Свойства подпространств
- •Векторное пространство Определение
- •Подпространство векторного пространства
- •Матрица перехода
- •Определение
- •Характеристические корни и собственные значения
- •Собственные значения
- •Линейные преобразования с простым спектром.
- •Процесс ортогонализации Грама--Шмидта в конечномерном евклидовом пространстве
- •Уравнения прямой на плоскости
- •[Править]Общее уравнение прямой
- •12.5. Прямая линия в пространстве. Основные задачи
[Править]Алгебраические свойства векторного произведения
-
Представление
Описание
свойство антикоммутативности
свойство ассоциативности относительно умножения на скаляр
свойство дистрибутивности по сложению
тождество Якоби, выполняется в и нарушается в
формула «БАЦ минус ЦАБ», тождество Лагранжа
Это частный случай мультипликативности нормы кватернионов
значение этого выражения называют смешанным произведением векторов a, b, c и обозначают либо
Условия параллельности и перпендикулярности векторов Так как скалярное произведение двух перпендикулярных векторов и равно 0, то условием перпендикулярности отличных от нуля векторов будет равенство . При умножении вектора на скаляр получаем вектор одного направления с при λ > 0и противоположного направления при λ < 0. Но всегда векторы будут параллельны. Поэтому условием параллельности векторов будет пропорциональность их соответствующих координат: .
3)
1.16. Смешанное произведение векторов и его свойства
Смешанным произведением векторов называется число , равное скалярному произведению вектора на векторное произведение векторов и . Смешанное произведение обозначается .
Геометрические свойства смешанного произведения
1. Модуль смешанного произведения некомпланарных векторов равен объему параллелепипеда, построенного на этих векторах. Произведение положительно, если тройка векторов — правая, и отрицательно, если тройка — левая, и наоборот.
2. Смешанное произведение равно нулю тогда и только тогда, когда векторы компланарны:
векторы компланарны.
Докажем первое свойство. Найдем по определению смешанное произведение: , где — угол между векторами и . Модуль векторного произведения (по геометрическому свойству 1) равен площади параллелограмма, построенного на векторах и : . Поэтому . Алгебраическое значение длины проекции вектора на ось, задаваемую вектором , равно по модулю высоте параллелепипеда, построенного на векторах (рис. 1.47). Поэтому модуль смешанного произведения равен объему этого параллелепипеда:
Знак смешанного произведения определяется знаком косинуса угла . Если тройка правая, то и смешанное произведение положительно. Если же тройка левая, то и смешанное произведение отрицательно.
Докажем второе свойство. Равенство возможно в трех случаях: или (т.е. ),или (т.е. вектор принадлежит плоскости векторов и ). В каждом случае векторы компланарны (см. разд. 1.1).
Алгебраические свойства смешанного произведения
1. При перестановке двух множителей смешанное произведение изменяет знак на противоположный:
При циклической (круговой) перестановке множителей смешанное произведение не изменяется:
2. Смешанное произведение линейно по любому множителю.
Первое свойство следует из геометрического свойства 1 и свойств ориентации троек векторов (см. разд. 1.9), поскольку от перестановки двух множителей модуль смешанного произведения не изменяется, а меняется только ориентация тройки. При циклической перестановке векторов ориентация тройки не изменяется.
Второе свойство следует из линейности скалярного произведения и свойства 1.
Пример 1.21. Объем параллелепипеда, построенного на векторах , равен . Найти объем параллелепипеда, построенного на векторах .
Решение. Используя алгебраические и геометрические свойства, найдем смешанное произведение
а затем его модуль . По первому геометрическому свойству смешанного произведения искомый объем равен .
Теорема 1.9 (формула вычисления смешанного произведения). Если векторы в правом ортонормированном базисе имеют координаты ; ; соответственно, то смешанное произведение этих векторов находится по формуле
В самом деле, учитывая (1.10) и (1.15), по определению находим:
что и требовалось доказать.
4)