Полтавський національний педагогічний університет імені В. Г. Короленка

Індивідуальна робота

з методики навчання математики

Виконав студент

фізико-математичного факультету

групи М-51

Політько Ігор

Полтава 2011

1. Які ви знаєте нестандартні методи розв’язування рівнянь? Доберіть блок завдань для ілюстрацій цих методів, до якої входили б рівняння різних типів. На основі цього матеріалу розробіть урок. Який тип уроку ви вважаєте найдоцільнішим? Чому? Укажіть, на якому етапі вивчення математики в старшій школі варто проводити такі уроки. Розгляньте питання включення такого уроку в систему уроків.

1). Використання області визначення та області значень функцій.

Скінченна область допустимих значень.

Якщо область допустимих значень (ОДЗ) рівняння складається із скінченого числа значень, то для розв'язування досить перевірити всі ці значення. У тому випадку, коли ОДЗ – порожня множина ( не містить жодного числа ), ми можемо зразу дати відповідь, що задане рівняння не має коренів. Тому перед безпосереднім розв'язанням рівняння, потрібно його проаналізувати, прослідкувати за поведінкою окремих членів рівняння для допустимих значень невідомої змінної.

Використання властивості монотонності функцій.

Вданому випадку спрацьовує така схема розв'язування: підбираємо один чи кілька коренів рівняння, доводимо, що інших коренів немає, при цьому використовуючи теореми про корені рівнянь , а саме:

Теорема 1. Якщо в рівнянні функція зростає ( спадає) на деякому проміжку, то це рівняння може мати не більш ніж один корінь на цьому проміжку.

Теорема 2. Якщо в рівнянні функція зростає на деякому проміжку, а функція спадає на цьому самому проміжку ( або навпаки ), то це рівняння може мати не більш ніж один корінь на цьому проміжку.

Справді , якщо функція монотонна, то таке рівняння має лише один корінь, бо для монотонної функції нерівним значенням аргументу відповідають нерівні значення функції. Графічно це означає, що пряма лінія, паралельна осі абсцис( графік функції - константи), не може перетинати графік монотонної функції більше, ніж в одній точці.

Якщо - кусково – монотонна функція, то рівняння може мати не тільки більш як один корінь, але навіть нескінченне їх число, коли має нескінченне число проміжків монотонності. Проте їх не може бути більше, ніж число проміжків монотонності кусково – монотонної функції.

Щоб дістати розв'язки рівнянь, нерідко доводиться брати одну й ту саму функцію від обох частин; порівняння значень складних функції , в яких зовнішня функція одна й та сама, - замінювати порівнянням значень внутрішніх функцій, тобто виконувати перехід, скориставшись відомою теоремою: „Рівняння і рівносильні, якщо їх області визначення однакові, а функція монотонна.”

Використання обмеженості функції. Оцінка лівої і правої частин рівнянь.

Деякі рівняння можна розв'язати за допомогою оцінки лівої та правої частин рівняння. Даний прийом базується на такій властивості: нехай потрібно розв'язати рівняння виду f(x) = φ(x) і з'ясувалося, що то рівність між лівою і правою частинами можлива тоді і тільки тоді, коли одночасно дорівнюють а.

Використання властивостей взаємнообернених функцій.

Розглянемо такі властивості взаємнообернених функцій :

Властивість1. Якщо та взаємнообернені функції, то їх графіки симетричні відносно прямої y = х.

Властивість2. Якщо графіки взаємнообернених функцій та перетинаються, то точки їх перетину лежать на прямій y = х.

Властивість3. Якщо та взаємно обернені функції, то рівняння рівносильне рівнянню або рівнянню g(x) = x.

2). Ведення параметра.

Цей спосіб полягає в тому, що сталу, яка входить до рівняння, сприймають як параметр і розв'язують рівняння відносно параметра.

3). Допомагає геометрія.

Іноді доданки, що входять до складу рівняння, нагадують формули, якими записуються такі теореми, як теорема Піфагора, теорема косинусів тощо. Також часто використовується така важлива властивість скалярного добутку векторів: , ( , якщо || ).

4). Допомагає тригонометрія.

Під час розв'язування ірраціональних рівнянь іноді зустрічаються вирази, що нагадують тригонометричні тотожності. У таких випадках ефективно працює тригонометрична підстановка.

5). Графічне розв'язання рівняння четвертої степені.

Маючи чітко і точно накреслений графік звичайної параболи у = х2 , можна за допомогою циркуля і лінійки розв'язувати графічно рівняння четвертої степені.

6). Про деякі тригонометричні рівняння

Дуже корисним під час розв'язування деяких тригонометричних рівнянь частіше використовувати одиничне коло.

7). Застосування похідних до розв'язування рівнянь

Розглянемо декілька типів рівнянь, в яких використовуються похідні. Серед них рівняння, в яких потрібно вияснити, чи має розв'язок те чи інше рівняння. Ці рівняння зводяться до знаходження екстремальних значень функції або до знаходження їх областей значень.

8). Про деякі цікаві рівняння з нескінченним числом квадратних радикалів.

В шкільному курсі алгебри і початків аналізу проходить знайомство з теоремою Вейєрштраса: якщо послідовність монотонна і обмежена, то вона має границю. Можна також чергувати корені різного порядку.

9). Розв'язування рівнянь, що містять змінну під знаком модуля

Для розв'язування рівнянь, що містять змінну під знаком модуля, найчастіше використовуються такі методи: за означенням модуля, піднесенням до квадрату лівої і правої частини, метод інтервалів. Але можна розв'язувати ці рівняння, використовуючи формулу відстані між двома точками координатної прямої.

Використовуючи числову пряму можна встановити, що рівняння виду , де , якщо має 2 корені, причому ці корені знаходяться поза інтервалом . Якщо рівняння має нескінченну множину коренів, причому розв'язком є інтервал . Якщо рівняння коренів немає.

Порівнюючи відстань між точками числової прямої, легко встановити, що рівняння виду має один розв'язок, якщо ; в цьому випадку шукана точка знаходиться внутрі інтервалу . Якщо рівняння має нескінченну множину коренів. Якщо рівняння коренів не має.

В тих випадках, коли коефіцієнти при х відмінні від 1, їх можна винести за знак модуля, а потім розв'язувати рівняння прийомом, поданим вище.

Отже, розв'язуючи рівняння , що містять змінну під знаком модуля, вже на початковому етапі, склавши допоміжне рівняння, ми ще до розв'язання рівняння встановлюємо, в яких проміжках потрібно шукати корені і скільки коренів має рівняння.