33. Оценка дисперсии случайной величины.
Док-жем,
что
-состоятельн. оценка дисперсий случ.
величины х.
Рассм.
I:это
есть среднее арифметическое n
независимых одинаково распределенных
СВ
согласно з-ну больших чисел (следствие
т.Чебышева) при
имеем:
(1)
Рассм.
II:
также в силу закона больших чисел.
,
поэтому
(2)
Из
выше сказанного следует, что
.
Т.о.
-состоятельная
оценка(хотя и смещенная).
34. Неравенство Рао-Крамера. Следствие для несмещенной оценки
35. Эффективная оценка мат. Ожидания нормальной распределенной величины.
Опр.Несмещен.
Оценка 
пар-ра
,
для которой в нер-ве Рао-Крамера
достигается знак равенства,т.е.
наз.
эффективной.
Пусть
Х случайная величина, имеющая нормальный
закон распределения с параметрами
и
.
Пусть
выборка (
явл. реализацией случайного вектора
,
где случайные величины
независимы
и распределены так же как и случайные
величины Х.
Покажем,
что
-эффективная
оценка параметра
,
т.е. имеем
-считаем
известным, а
-
неизвестным. Вычислим информацию Фишера
.
36. Асимптотически эффективные и сверх эффективные оценки. Теорема о состоятельности оценки.
Определение:
несмещенная оценка 
называется асимптотически эффективной
оценкой параметра
,
если
D(
)*Jn(
)=1
D( )=1/ Jn(ϴ)
Определение : Если условия дифференцирования интегралов по параметру при котором доказывается неравенства Рао-Крамера не выполняется, то может существовать несмещенная оценка дисперсия которой меньше чем нижняя граница в неравенстве Рао-Крамера. Такая оценка называется сверхэффективной.
= (X1, ... , Xn)
Если
M(
)
,
а D(
)
при n
,
то
-
является состоятельной.
Д-во :
В
силу неравенства Чебышева (*):
значит
и p
.
.
Обозначим
=
В
силу условия 
при
:
>2*
Возьмем
n-настолько
большое, чтобы выполнялось это неравенство:
2*
>
,
так как
Тогда
>
}
В
силу (*) получаем, что
при
.
Значит
-
состоятельная оценка.
Ч.т.д.
37. Условные законы распределения. Условное мат. Ожидание.
Дискретное
распределения. Рассм.
случ. метод
=(X1,
... , Xn),
где Xi
–
случ. вел. Пусть
– имеет дискр. распр.:
P{
=X}=p(x)=p(x1,
... , xn).
x-
пробегает конечное или счетное множество
возможных значений
.
По свойствам этих вероятностей: p(x)
.
Рассмотрим функцию : t=t(x1,
... , xn).
В дальнейшем вместо функции t(x1,
... , xn)
можно рассматривать вектор функцию
t(x).
Определение:Условным
распределением
при
условий t(
)=t
(t-фиксир)
назовем совокупность условных вероятностей
P(x|t)=P{
=X|t(
)=t}.
Если
x
и t
таковы, что t(x)
t,
то очевидно, что p(x|t))=0
Замечание : В дальнейшем считаем, что t(x)=t
Выразим
усл. вер. p(x|t),
через вероятность p(x).P{
=X|t(
)=t}=
(*)
Доп.
усл. на t:
t
– выбирается таким, чтобы знаменатель
последней дроби не был равен нулю,
другими словами, чтобы на линии уров-ня
было хотя бы одно
с
ненулевой вероятностью.Пусть g(x)
– числовая функция от векторного
аргумента x=(x1,
... , xn),
тогда g(
)
– случ. величина, ее мат ожидание:
M[g(
)]=
Условное мат. ожидание случайной величины g( ), при t( )=t определяется с помощью условного распределения.
Определение.Условное
мат ожидание случайной величины g(X)
при условии t(
)=t
обозначим M[g(
)|t(
)=t]=
.
В силу (*) имеем :
M[g(
)|t(
)=t]=
.
Условное
мат. ожидание : M{g(
)|t(
)=t}
– обозначение ее g1(t).
Вместо t
в эту функцию подставим случ. величину
t(
),
мы получим, что усл мат ожидание есть
случайная величина g1(
)
M[g1(
)]=
=
Т.о. мы доказали: M[g( )]=M[M(g( )|t)] (****)
Т. е. при вычислении мат. ожидания случ. величины g( )сначало можно вычислить условное мат. ожидание g( ), при условии t( )=t , а затем осреднить это усл. мат. ожидание по вероятностям условий.
Непрерывное распределение. Пусть - имеет непрерывное распределение и t(x)=t(x1, ... , xn) – некоторые функции от n-переменных.
Определение
:
предел при
след. величины:
назыв.
усл. плотностью случайного вектора
при условии t(
)=t
и обозн. p(x|t).
Пусть g(x)
– некоторая функция (x1,
... ,xn).
Усл. мат ожидание случ величины g(
)
при условии t(
)=t
определяется: M{g(
)|t(
)=t}=
.
Формула (***) имеет место и в случае, если
имеет
непрерывное распределение.