23. Двумерное нормальное распределение. Условие независимости некоррелированных св.

Опр.Двумерная СВ (Х,У) имеет нормальное распределение, если её плотность вероятности имеет вид:

δ_х ,δ_у положительные параметры и | ρ | <1.

Двумерное нормальное распределение СВ (Х,У) зависит от 5 параметров: m_{х ,} m_у, δ_х ,δ_у ,ρ

Если СВ Х и У распределены нормально , то М(х)= m_х, М(у)= m_у.

Если r_ху= 0 , то СВ не коррелированные.

Теор. Если составлять двумерное нормальное распределение СВ Х и У некоррелированным, то СВ независимые.

Зам. Не всегда из некоррелированности => их независимость.(приводится пример почему это не так)

24.Теорема об условных распределениях компанент двумерной нормально распределенной св.

Теор. Если СВ (Х,У) распределена нормально с параметрами m_х m_у δ_х δ_у ρ, то условные распределения являются нормальными с параметрами:

1. для условного распределения составляет Х при фиксированном значении У=у и

m_х/y= ρ(δ_х / δ_у)( у - m_у)+ m_х

δ_х/y = δ_х(1- ρ²)^0.5

2. для условия распределения составн У при фиксированном значении Х=х

m_у/х= ρ(δ_у / δ_х)( у – m_х)+ m_у

δ_у/х = δ_у(1- ρ²)^0.5

Опр. Уравнение М(Х| У=у)= ρ(δ_х / δ_у)( у - m_у)+ m_х модельное уравнение регрессии Х и У аналогично М(У| Х=х)

Линии регрессии Х на У и У на Х в случае нормальнейшегося распределения – являются прямыми линиями , проходящими через точку с координатами (m_х ,m_у) – центр распределения двумерной СВ.

График условной плотности СВ У при условии что Х = х

25 Характеристические функции случайных величин, их свойства. Примеры

26. Неравенства Маркова и Чебышева.

Теорема(неравенство Маркова):Пусть собственная величина(СВ) Х принимает только неотрицательные значения, тогда справедливы неравенства .

Доказательство: Докажем для непрерывной СВ Х , . ; ; . доказано.

Теорема(неравенство Чебышева): Пусть Х-СВ с дисперсией D(X), тогда справедливо неравенство .

Доказательство: Рассмотрим СВ , , тогда для справедливо неравенство Маркова ; ; из последних 2-х неравенств следует неравенство. доказано.

27. Теорема Чебышева. Теорема Маркова.

Теорема Чебышева: Пусть - независимые СВ с конечными мат. ожиданиями , причем , тогда

Опр. по вероятности, если .

Доказательство: Рассмотрим СВ . Найдем мат. ожидание и дисперсию: ; . Применим неравенство Чебышева: ; . Пусть и получаем утверждение теоремы.

Теорема Маркова: Если имеются зависимые СВ и если при выполняется , то среднее арифметическое сходится по вероятности к среднему арифметическому математических ожиданий

Доказательство: Аналогично доказательству Чебышева ; ; ; . доказано.

28. Центральная предельная теорема.

Опр: Пусть - СВ. Случ. величину – нормированная сумма. Если -независимые СВ, то . если , - одинаково распределены, то .

Теорема: Если - независимые СВ , имеющие один и той же закон распределения с мат. ожидания , , то . - распределена асимметрически при по стандартному норм. закону. .

Доказательство: , ; ; ; ; ; ; . - хар-ая функция стандартного нормального закона распределения. Последовательность функций распределения СВ сходится к функции распределения стандартного нормального закона распределения. Это равносильно утверждению теоремы. доказано.