- •1.Основные понятия теории вероятностей. Классическое, статистическое и геометрическое определения вероятности. Основные понятия тв.
- •Статистическое определение вероятности
- •Геометрическое определение вероятности
- •2. Алгебраические операции над событиями. Отношение м/д событиями. Аксиоматическое определение вероятности события. Отношение м/д событиями
- •Аксиоматическое определение вероятностей события
- •3.Основные свойства вероятностей. Правило сложения вероятностей. Условные вероятности. Теорема умножения вероятностей. Независимые события.
- •4.Формула полной вероятности. Формула Байеса.
- •5.Повторение испытаний. Формула Бернулли.
- •6.Локальная и интегральная теоремы Лапласа.
- •7. Вероятность отклонения относительной частоты от постоянной вероятности в независимых испытаниях.
- •8. Наивероятнейшее число появлений события при повторных испытаниях по схеме Бернулли.
- •9. Случайные величины. Закон распределения вероятностей. Биноминальное распределение. Геометрическое распределение.
- •10. Распределение Пуассона.
- •11. Функция распределения св и ее свойства.
- •12. Непрерывные св. Равномерный закон распределения.
- •13 Показательный закон распределения. Нормальный закон распределения.
- •14 Многомерные случайные величины. Ф-ция распределения многомерной случайной величины, её свойства.
- •15 Двумерные непрерывные св. Плотность распределения вероятностей двумерной св, её свойства
- •16 Двумерные св. Условные законы распределения.
- •17 Независимые случайные величины. Критерий независимости.
- •18 Функции случайных величин, их законы распределения.
- •19.Числовые характеритики св.
- •20.Моменты распределения одномерной св.
- •21.Ковариация и коэффициент линейной корреляции 2 св, их свойства.
- •22.Условное мат ожидание
- •23. Двумерное нормальное распределение. Условие независимости некоррелированных св.
- •24.Теорема об условных распределениях компанент двумерной нормально распределенной св.
- •25 Характеристические функции случайных величин, их свойства. Примеры
- •26. Неравенства Маркова и Чебышева.
- •27. Теорема Чебышева. Теорема Маркова.
- •28. Центральная предельная теорема.
- •29. Теорема Ляпунова. Интегральная теорема Лапласса.
- •30. Распределение выборки. Эмпирическая функция распределения.
- •33. Оценка дисперсии случайной величины.
- •34. Неравенство Рао-Крамера. Следствие для несмещенной оценки
- •35. Эффективная оценка мат. Ожидания нормальной распределенной величины.
- •36. Асимптотически эффективные и сверх эффективные оценки. Теорема о состоятельности оценки.
- •37. Условные законы распределения. Условное мат. Ожидание.
- •38.Достаточные статистики. Критерий факторизации
- •39.Теорема Колмагорова – Блекуэлла.
- •41. Метод моментов
- •42. Распределение….
- •43. Распределение Стьюдента.
- •44. Теоремы о случайной величине, имеющей распределение Стьюдента.
- •45. Распределение Фишера. Теорема о случайной величине, имеющей распределение Фишера
- •46 Доверительный интервал для мат. Ожидания нормально распределенной с.В.( -неизвестно)
- •47 Доверительный интервал для мат. Ожидания нормально распределенной с.В.( -известно)
- •48 Доверительный интервал для дисперсии нормально распределеннной с.В.
- •55 Проверка гипотезы о равенстве двух дисперсий нормально распределенный с.В.
19.Числовые характеритики св.
СВ описываются числовыми характеристиками, различают характеристики положения ( ожидания , моде, медиана) и характеристики рассеивания ( дисперсия, среднеквадратичное отклонение , моменты)
В мат ожидании (средним значением вероятности называется действительное число М(х))
М (х)=
Мат. ожидание существует , если ряд или интеграл ---сходятся абсолютно, если абсолютной сходимости нет , то говорят, что Х не имеет мат ожидания.
Мат ожидание характеризует среднее значение принимаемое СВ.
Свойства:
1.М(с)=с - const
2.М(кх)=кМ(х), к -const
3.М(х+у)=М(х)+М(у)
4.М(ху)=М(х)М(у), если х,у- независимые
5.М(х-М(х))=0
6.х≥0 => М(х) ≥0
7.М2(ху)=М(х2)М(у2) ---неравенство Коши Буняковского
Дисперсией СВ называют неотрицательное число:
D (x)=
Свойства дисперсии:
1.D(c)=0, c-const
2.D(kx)=k2D(x)
3.D(x±y)=D(x)+D(y), если х,у - независимые
4.D(x)=M(x2)-(M(x))2 --- упрощённое правило вычисления
Модой непрерывной СВ Х называют действительное число dx – точка максимального распределения.(модой дискретной СВ Х – называют значение хк имеющее наибольшую вероятность)
Медианой непрерывной СВ Х – называют действительное число hх , такое что Р(х<hx)= Р(х≥hx)
Средним квадратичным отклонением CВ Х – называют число δ(х)=(D(x))0.5
20.Моменты распределения одномерной св.
В ТВ изучают моменты 2-ух видов:
-Начальные(нач. момент к-ого порядка СВ Х наз υк=М(хк))
-центральные(центральный момент СВ Х μк=М(х-М(х))к, μ2- дисперсия СВ Х)
Найдем выражение центральных моментов СВ Х через нач моменты этой СВ:
μк=М(х-М(х))к=М(∑сnk(-1)кхn-k – Мк(х))= М(х-М(х))к=∑сnk(-1)к М(хn-k) Мк(х)= ∑сnk(-1)к υn-k υк
μ2=υ2 – υ12
μ3 служит характеристикой асимметрии (скошености) распределения, если СВ распределена симметрично относительно М(х), то μ3 = 0.
А = μ3/δ3 –коэффициент ассиметрии
μ4 - центральный момент служащий характеристикой островершинности или плосковершинности распределения.
В = μ4/δ4 коэф плосковершинности для нормального закона распределения (В=3 эксцесс)
21.Ковариация и коэффициент линейной корреляции 2 св, их свойства.
Основная характеристика описывающая связь между СВ Х и У является ковариация (корреляционный момент):
Kxy=cov(x,y)=M[(x-M(x))(y-M()y)]
Теор. cov(x,y)=0, Для независимых Х и У
Свойства ковариации:
1.Кху=Кух
2.|Кyx|≤δхδу
Величина rху= Кух/ δхδу называется линейной ковариацией
Свойства rху:
rху =rух
rхх=1, Кхх=D(x)
|ryx|1≤1
Кху= 0, если Х и У независимые СВ
rху=±1, то между СВ Х и У существует функцинальная зависимость
М((х-mx)/ δх ±(y-my)/ δy)2= 2 ± 2 Кух/ δхδу
22.Условное мат ожидание
Зависимость между СВ Х и У может изучаться с помощью условных распределений. Если окажется что условное = безусловному , то говорят что СВ не зависимы.
Условное распределение составленное Х и У характеризуется условным мат ожиданием и дисперсией.
Опр. Условное мат ожидание составляет Х при условии что У приняло определённое значение У(для дискретного yj находят по формуле ):
М(Х| У=уj)= ∑хip(xi,yi) для дискретной СВ, где хi – различные значения СВ Х.
p(xi,yi)=p(Х=xi| У=yi)
М(Х| У=уj)=∫ хp(x,y)dx для непрерывных СВ Х и У, где p(x,y)- условие плотности СВ Х при условии У=у
Например: условие дисперсии составляет Х, при условии что У=у в случае непрерывных СВ определяемое формулой:
Мх/у=М(Х| У=у)
D(Х| У=у)=∫ (х- mx/y)2p(x,y)dx
Из определения условного мат ожидания следует => с изменением У будет меняться и М(Х| У=у) и мы можем рассматривать его как функцию от У(М(Х| У=у)=ψ(У)- функция регрессии Х на У, аналогично для регрессии У на Х). Х= ψ(У),У=φ(Х) – линии регрессии, вводятся непрерывных СВ.