Аксиоматическое определение вероятностей события

Пусть F- σ-алгебра подмножеств множества Ω. Вероятностью P(A) наз-ся числовая функция определённая для всех А и удовлетворяющая 3-м условиям:

1. P(A)

2. P(Ω)=1

3. если причём для , то P( )=

Т.обр. вероятность – неотрицательная, нормированная и σ-аддитивная функция мн-в принадлежащих σ-алгебре F.

Свойства:

1. P( )=0

2. P(A)=1-P( )

3. A B => P(A) P(B)

4. P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A*B)

5. P(A+B) P(A)+P(B)

6. P(A)

Тройку { Ω ,F,P}, удовлетворяющую аксиомам 1-3 наз-ют вероятностным пространством случайного эксперимента.

3.Основные свойства вероятностей. Правило сложения вероятностей. Условные вероятности. Теорема умножения вероятностей. Независимые события.

Свойства вероятностей:

1. P(A) P(A)

2. P(Ω)=1

Событие А+В наз-ют суммой событий А и В, если считается, что А+В происходит  когда происходит одно из событий.

Произведение А*В-событие состоящее в том, что происходит и событие А и событие В.

Событие А и В наз-ся несовместными, если они не могут произойти одновременно. Если А и В несовместные события, то имеет место следующее равенство P(A+B)=P(A)+P(B).

Общий случай: для произвольных А и В имеет место формула P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A*B). Эта формула соответствует предыдущей: если А и В несовместные события, А*В не содержит ни одного элементарного исхода P(A*B)=0. Пусть А произвольное событие, тогда ч/з будем обозначать событие противоположно событию А, а состоит в том, что А не произошло.

P(A)=1-P( )

А+ =

P(А+ )=P( )=1

Если среди событий любые 2 несовместны, то P(

Доказывается методом индукции на основании равенства для 2-х несовместных событий P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A*B)

+B=A* +B* +A*B

P( +B)=P(A* +B* +A*B)=P(A* )+P(B* )+P(A*B)={P(A* )=P(A)-P(A*B); P(B* )=P(B)-P(A*B)}=P(A)+P(B)-P(A*B)

Пусть А и В, С несовместные события

P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(A*B)-P(B*C)-P(C*A)+P(A*B*C)

P( )=

Условная вероятность P(A|B) события А при условии, что произошло событие В. Она определяется формулой

P(A|B)= (*) P(B) в случае классического определения вероятности.

P(A|B)= . Из формулы (*) следует P(A*B)=P(B)*P(A|B)

Теорема умножения вероятностей: Пусть произвольные события, тогда имеет место P( )=P( )*P( )*P( )*…*P( )

Опр. События А и В наз-ся независимыми, если условная вероятность P(A|B)=P(A) и P(В|А)=P(В), P(A) , P(B)

Теорема1:Если А и В независимы, то P(A*B)=P(А)* P(В) (**).

Теорема2:Если А и В таковы, что P(A*B)=P(А)* P(В), то А и В независимы(P(A) , P(B) )

Теорема3:Если А,В,С взаимно – независимые события, то P(A*B*С)=P(А)* P(В)* P(С)

P(A|B)= P(A|С)= P(A|B*С)= P(A)

4.Формула полной вероятности. Формула Байеса.

Опр.События образуют полную группу, если они попарно – несовместны ( ) и

Теорема: Пусть образуют полную группу событий, тогда для любого события А выполняется P(A)=P( )*P(A| )+P( )* P(A| )+…+P( )*P(A| )

Док-во:

A* =A

A= в этой сумме события несовместны, несовместны.

P(A)= ={по теореме умножения}=

Пусть образуют полную группу событий. Требуется найти условную вероятность

Эта формула Байеса.

События А, наз-ся гипотезами