42. Распределение….

43. Распределение Стьюдента.

Пусть Х₁,Х₂,…,Х_n нормально распределенные случайные величины, m=0, σ=1.

Тогда СВ – соотношение Стьюдента. А ее распределение – распределение Стьюдента с ν=n степенями свободы.

Замечание. СВ Т часто записывают где . График плотности:

Внешне напоминает график плотности нормального стандартного распределения. При больших ν график центрирован нормальной кривой (т.е. m=0, σ=1). Составлена таблица . Построим график: S1+S2=α (α-заданный ) уровень вероятности, - квантили распределения Стьюдента.

44. Теоремы о случайной величине, имеющей распределение Стьюдента.

Теорема 1. Пусть Х₁,Х₂,…,Х_n независимые СВ распределенные нормально с одинаковымм мат.ожиданиями m и одинаковыми диспериями , тогда имеет распределение Стьюдента с ν=n-1 степенями свободы.

Доказательство. , - нормально распределенная случайная величина с параметрами 0 и 1. Из того, что все Х_i – нормально распределены =>, что - нормально распределенная.

. СВ имеет 𝜒² – распределение с ν=n-1 степенями свободы.

 распределена по Стьюденту с ν=n-1 степенью свободы. Теорема доказана.

Теорема 2. Пусть и – средние арифметические и дисперсии в выборках, состоящих из n1 и n2 соответственно независимых наблюдений. Выборки отобраны из нормальных генеральных совокупностей с одинаковыми средне квадратич. отклонениями. Тогда при взаимной независимости обеих выборок, случайная величина Т:

 распределена по закону Стьюдента с ν= степенями свободы.

Доказательство. (см дальше)

ν=n. Рассмотрим случайную величину ,

, ,

- имеет - распределение с ν=n₁-1 степенью св.

- имеет - распределение с ν=n₂-1 степенью св.

- имеет - распределение с ν=n₁+n₂-2 степенью св.

Составим СВ , Т – распределена по Стьюденту со степенью свободы ν=n₁+n₂-2.

(из теоремы). Теорема доказана.

45. Распределение Фишера. Теорема о случайной величине, имеющей распределение Фишера

Опр. Пусть случайная величина U² и V² имеют 𝜒² распределение с ν₁ и ν₂ степенями свободы, тогда СВ - имеет распределение Фишера с ν₁ и ν₂ степенями свободы. Плотность распределения F имеет вид:

Функция распределения случайной величины F называется F-распределением с ν₁ и ν₂ степенями свободы.

Составлена таблица значений , для которых:

Теорема. Пусть - исправленные статистические дисперсии определяемые в выборках объемов n₁ и n₂ взятых из нормальных генеральных совокупностей с одинаковыми средне квадратичными отклонениями σ. Тогда СВ имеет распределение Фишера с ν₁=n₁-1 и ν₂=n₂-1 степенями свободы.

Доказательство.

В силу теоремы о случайной величине имеющей распределение 𝜒² и замыкания имеем:

Тогда имеет F-распределение с степенями свободы, и степенями свободы. Теорема доказана.

46 Доверительный интервал для мат. Ожидания нормально распределенной с.В.( -неизвестно)

Опр.Доверительным интервалом для параметра наз-ся интервал (обозн. , ),содержащий (накрывающий) истинное значение неизвестного параметра с заданной вероятностью p=1-

Опр: Число 1- наз-ся доверительной вероятностью.

Постановка задачи: Пусть наблюдается нормальное распределение С.В. Х.произведена выборка обьема n.Требуется найти доверительный интервал с заданной доверительной вероятностью 1- для мат. ожидания m С.В. Х

Для этого найдем такое >0 ,что P( )= 1- (**)

Ищем ,чтоб вып-ось это равенство

P( )= 1- (**)

1)Пусть неизвестна,т.е. .В силу Теоремы2 из пункта распределение Стьюдента С.В.

,где -выбор среднего квадратичного отклонения имеет распределение Стьюдента с степенями свободы

Т.к. = следовательно =

-распределение по Стьюденту с степенями свободы

<

Ищем чтобы: P( )= 1-

P( )= 1-

P( )=

По таблице находим такое значение что P( )= ,Тогда следовательно

Тогда искомый доверительный интервал будет иметь вид

( )