4. Турбулентное течение вязкой жидкости. Число Рейнольдса

а) Характер течения жидкости (газа) определяется безразмерным числом

Рейнольдса

Re = ρvl/η = vl/v,

где l − величина, характеризующая линейные размеры тела, обтекаемого жид-

костью (газом), v − скорость течения, ρ − плотность, η − динамическая вязкость.

Отношение v = η/ρ называется кинематической вязкостью. Критичекское значе-

ние числа Рейнольдса Re*, определяющее переход от ламинарного движения к

турбулентному (завихренному), различно для тел разной формы.

б) При турбулентном движении лобовое сопротивление

Fx = Cх (ρv²/2) S,

где Сх − безразмерный коэффициент сопротивления; ρ − плотность среды; v −

скорость движения тела; S − площадь наибольшего поперечного сечения тела.

ВОПРОСЫ И УПРАЖНЕНИЯ

1.Укажите разграничения между твердыми, жидкими и газообразными телами те-

лами.

2. Какова особенность статических внутренних усилий и напряжений в жидкости

и газе?

3. Сформулируйте закон Паскаля. Каково распределение давления в покоящейся

жидкости? В чем заключается “гидростатический парадокс”? 21

4. Сформулируйте условия равновесия тел, плавающих на поверхности жидкости;

погруженных в жидкость (или газ).

5. Дайте определение стационарного течения жидкости (или газа). Какая жидкость

называется идеальной?

6 .Дайте определения линии тока, трубки тока, осевой линии тока.

7. Запишите закон постоянства потока массы для: а) газа; б) жидкости. Какова связь

между изменением скорости и изменением давления вдоль трубки тока?

8. Получите основной закон динамики для частицы идеальной жидкости.

9. Докажите, что уравнение Бернулли для стационарного течения несжимаемой

жидкости является следствием основного закона динамики для частицы идеальной

жидкости.

10. Получите уравнение Бернулли как следствие закона сохранения энергии для

частицы жидкости, движущейся вдоль трубки тока

11. Какова природа сил вязкости? В каких областях трубки тока силы вязкости

проявляются особенно резко? Какой слой жидкости называется пограничным?

12. Какую величину называют градиентом статического давления?

13. Что такое вязкость? В каких единицах измеряется коэффициент вязкости?

14. Дайте определения ламинарного и турбулентного течения жидкости (или газа).

Какие величины определяют характер течения жидкости (или газа)?

15. Чем отличается кинематическая вязкость жидкости (или газа)?

16. Получите закон распределения скорости по диаметру трубы при ламинарном

течении.

17. Получите формулу Пуазейля для потока жидкости Q .

18. Что собой представляет сила лобового сопротивления?

19. Формула Стокса. Приближение к предельной скорости.

20. Сформулируйте теорему механического подобия. В каких задачах используется

эта теорема? Как осуществляется моделирование обтекания тел жидкостью (или

газа)?

21. Какова природа сил трения?

22. Дайте определение сухого и жидкого трения.

23. Что представляет собой явление застоя и при каких условиях возникает оно?

24.Какова природа трения качения? Какую размерность имеет коэффициент трения

качения?

25. Получите формулу приближения скорости к предельной при ламинарном обте-

кании твердого тела потоком жидкости (или газа).

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Пример 1. Водомер представляет собой горизонтальную трубу переменного се-

чения, в которую впаяны две вертикальные манометрические трубки одинакового

сечения ( рис. 22). По трубе протекает вода. Пренебрегая вязкостью воды, опреде-

лить её массовый расход, если разность уровней в манометрических трубках Δh =

= 8 см, а сечения трубы у оснований манометрических трубок равны соответствен-

Но S1 = 6 см² и S2 = 12 см². Плотность воды ρ = 1 г/cм³

Рис. 22

Д а н о: Δh = 8 см = 0.08 м, S1 = 6 см² = 6·10ˉ²*² м², S2 = 12 см² = 12·10ˉ²*² м²,

22

ρ =1 г/cм³ = 10³ кг/м³.

О п р е д е л и т ь Q.

Ре ш е н и е. Массовый расход жидкости − это масса воды, протекающая

через сечение за едигицу времени,

Q = m/Δt = ρv2S2Δt/Δt = ρv2S2, (1)

где ρ − плотность воды; v2 − cкорость течения воды в месте сения S2. При

стационарном течении идеальной несжимаемой жидкости выполняются урав-

нения неразрывности

v1S1 = v2S2 (2)

и уравнение Бернулли для горизонтальной трубы ( h1 = h2)

p1 + ρv1²/2 = p2 + ρv2²/2, (3)

где p1 и p2 − cтатические давления в сечениях манометрических трубок; v1 и

v2 − скорости течения воды в местах сечений S1 и S2. Учитывая, что

p2 − p1 = ρgΔh,

и решая систему уравнений (2), (3), получаем

v2 = S1√2gΔh/(S2² − S1²).

Подставив это выражение в (1), найдем искомый массовый расход воды:

Q = ρS1S2√2gΔh/(S2² − S1²).

Вычисляя, получаем Q = 0.868 кг/c.

Пример 2. Вода подается в фонтан из большого цилиндрического бака

диаметром D = 2 м и бьёт из отверстия диаметром d = 2 см (рис. 23). Найти:

Рис. 23

1) скорость v1 понижения воды в баке; 2) давление p1, под которым вода по-

дается в фонтан; 3) высоту h1 уровня воды в баке и высоту h2 струи, выходя-

из фонтана.

Р е ш е н и е.1. Проведем сечение I−I в баке на уровне сечения II−II фон-

тана. Так как площадь S1 сечения I−I много больше площади S2 сечения II−

− II, то высоту h1 уровня воды в баке можно считать для малого промежутка

времени постоянной, а поток − установившимся. Для установившегося пото-

ка справедливо уравнение неразрвыности струи: v1S1 = v2S2, откуда

v1 = v2S2/S1, или v1 = v2(d/D)² (1)

Подставив в равество (1) значения заданных величин и произведя вычи-

сления, найдем

v1 = 0.0012 м/c.

С такой же скоростью будет понижаться уровень в баке. Как видно, эта ско-

рость очень мала по сравнению со скоростью струи.

2. Давление p1, под которым вода подается в фонтан, найдём по уравнению

Бернулли. В случае горизонтальной трубки тока оно имеет вид

p1 + ρv1²/2 = p2 + ρv2²/2. (2)

Учтя, что p2 = 0 (под давлением подразумевается избыточное над атмосфер-

ным давление), из уравнения (2) получим

p1 = ρv2²/2 − ρv1²/2. (3)

Так как v1 « v2, то из равенства (3) следует

p1 = ρv2²/2.

После вычислений, произведенных по этой формуле, найдем

p1 = 72 кПа.

3. Высоту h1 уровня воды в баке найдем из соотношения p1 = h1ρg, откуда

h1 = p1/(ρg).

Произведя вычисления по этой формуле, найдем

h1 = 7.35 м.

Зная скорость v2, с которой вода выбрасывается фонтаном, найдем высоту

h2, на которую она будет выброшена:

h2 = v2²/(2g) = 7.35 м.

Подчеркнем, что высота уровня воды в баке равна высоте, на которую под-

нимается фонтан воды ( по правилу сообщающихся сосудов). Это замечание

справедливо, если пренебречь сопротивлением воздуха.

Пример 3. В дне цилиндрического сосуда диаметором D = 0.5 м имеется

круглое отвестие диаметром d = 1 см. Найти зависимость скорости понжения

уровня воды в сосуде от высоты h этого уровня. Найти значение этой скорос-

ти для высоты h = 0.2 м.

Р е ш е н и е. Обозначим: S1−площадь поперечного сечения сосуда и v1 −

− скорость течения воды в нём (скорость понижения уровня воды в сосуде), S2

− площадь поперечного сечения отверстия и v2 − скорость вытекания воды

из отверстия. По теореме Бернулли

ρv1²/2 + ρgh = ρv2²/2, или v1² + 2gh = v2². (1)

В силу неразрывности струи v1S1 = v2S2, или

v2 = v1S1/S2. (2)

Подставляя (2) в (1), получим v1 = S2√2gh/√S1² −S2². Учитывая, что S1 =

= πD²/4 и S2 = πd²/4, имеем v1 = d²√2gh/√D²*² − d²*². Так как d²*² « D²*², то

приближённо

v1 = (d²/D²)√2gh.

Отметим, что если d = D, то v1 = √2gh. При h = 0.2 м скорость v1= 0.8 мм/c.

Пример 4. Цилиндрический бак высотой h = 1м наполнен до краёв водой

за какое время t вся вода выльется через отверстие, расположенное у дна ба-

ка, если площадь S2 поперечного сечения отверстия в 400 раз меньше площа-

ди S1 поперечного сечения бака? Сравнить это время с тем, которое понадоби-

лось бы для вытекания такого же объёма воды, если бы уровень воды в баке

поддерживался постоянным на высоте h = 1 м от отвестия.

Р е ш е н и е. Скорость понижения уровня воды в баке v = S2√2gy/√S1²− S2²

( см. решение пр.2). Здесь y − уровень воды в баке (переменный). За время dt

уровень воды в баке понизится на

dy = vdt = A√y ·dt, где A = S2√2g/√ S1² − S2². (1)

Из (1) имеем dt = dy/(A√y); отсюда

h

t = (1/A) ∫ dy/√y.

o

После интегрирования получим ответ

T = 2√h (S1² − S2²)/( S2√2g) = √ {2h[(S1/S2)² − 1]/g} = 3 мин.

Нетрудно убедиться, что если бы уровень воды в баке поддерживался пос-

тоянным на высоте h =1 м от отверстия, то время вытекания такого же объема

воды было бы в два раза меньше.

П р и м е р 5. В сосуде с глицерином падает свинцовый шарик. Определить

максимальное значение диаметра шарика, при котором движение слоев глицери-

на, вызванное падением шарика, является ещё ламинарным. Движение считать

установившимся.

Р е ш е н и е. Если в вязкой жидкости движется тело, то вместе с ним, как

целое, движется и прилипший к телу слой жидкости. Этот слой вследствие внут-

реннего трения увлекает за собой и соседние слои. Возникающее при этом дви-

жение жидкости является ламинарным или турбулентным в зависимости от раз-

меров и формы тела и его скорости.Характер движения зависит также от свойств

жидкости и определяется безразмерным числом Рейнольдса.

Если тело, движущееся в жидкости, имеет форму шара диаметром d, то чис-

ло Рейнольдса определяется по формуле

Re = ρvd/η, (1)

а критическое значение этого числа Re кр = 0.5.

Скорость v выразим, исходя из следующих соображений. На свинцовый ша-

рик, падающий в глицерине, действуют три силы:

1) сила тяжести шарика

mg = ρсвgV = (1/6) πρсвgd³,

где ρ − плотность свинца; V − объём шарика;

2) выталкивающая сила, определяемая по закону Архимеда,

Fвыт = ρглVg = (1/6) πρглgd³,

где ρгл − плотность глицерина;

3) сила внутреннего трения, определяемая по формуле Стокса,

Fтр = 6πηrv = 3πηdv.

При установившемся движении шарикав жидкости (v = const) сила тяжести

уравновешивается суммой выталкивающей силы и силы внутреннего трения, т.е.

(1/6)πρсвgd³ = (1/6)πρглgd³ + 3πηdv,

откуда

v = (ρсв − ρгл)d²/(18η). (2)

Решая совместно уравнения (1) и (2) относительно d, найдем

d = ³√ 18η²Re/[ρгл(ρсв − ρгл)g].

Максимальное значение диаметра dmax, при котором движение остается ещё

ламинарным, соответствует критическому значению числа Рейнольдса Reкр. Поэ-

тому

dmax = ³√18η²Reкр/[ρгл(ρсв − ρгл)g].

Подставляя сюда табличные значения ( ηгл = 1.48 Па·с, ρгл = 1.26·10³ кг/м³,

ρсв = 11.3·10³ кг/м³, Reкр = 0.5 и g = 9.8 м/c²) и произведя вычисления, получим

dmax = 5.29 мм.

ЗАДАЧИ ГРУППЫ А

1.(Ч.12.45) Вода течет в горизонтально расположенной трубе переменно-

го сечения. Скорость v1 воды в широкой части трубы равна 20 см/c. Опреде-

лить скорость v2 в узкой части трубы, диаметр d2 которой в 1.5 раза меньше

диаметра d1 широкой части.

Ответ: 0,45 м/c.

2.(В.4.1) Найти скорость v течения углекислого газа по трубе, если из-

вестно, что за время t = 30 мин через поперечное сечение трубы протекает

масса газа m = 0.51 кг. Плотность газа ρ = 7.5 кг/³м. Диаметр трубы D = 2 см.

Ответ: v = 0.12 м/c.

3.(Ч.12.48) Горизонтальный цилиндр насоса имеет диаметр d1 = 20 cм. В

нём движется со скоростью v1 = 1 м/c поршень, выталкивая воду через отвер-

стие диаметром d2 = 2 см. С какой скоростью v2 будет вытекать вода из отвер-

стия? Каково будет избыточное давление p воды в цилиндре?

Ответ: 100 м/c; 5 МПа.

4.(Ч.12.50) Давление p ветра на стенку равно 200 Па. Определить ско-

рость v ветра, если он дует перпендикулярно стене. Плотность ρ воздуха рав-

на 1.29 кг/м³.

Ответ: 8.80 м/c.

5.(В.4.6) В сосуд льётся вода, причём за единицу времени наливается объ-

ём воды Vt = 0.2 л/c. Каким должен быть диаметр d отверстия в дне сосуда, что-

бы вода в нём держалась на постоянном уровне h = 8.3 см?

Ответ: d = 1.4 см.

6.(В.4.7) Какое давление p создает компрессор в краскопульте, если струя

жидкой краски вытекает из него со скоростью v = 25 м/c? Плотность краски

ρ = 0.8·10³ кг/м³.

Ответ: p = 250 кПа.

7.(В.4.10) Шарик всплывает с постоянной скоростью v в жидкости,

плотность которой ρ1 в 4 раза больше плотности ρ2 материала шарика. Во

сколько раз сила трения Fтр, действующая на всплывающий шарик, больше си-

лы тяжести mg, действующей на этот шарик?

Ответ: Fтр/mg = 3.

8.(В.4.12) Стальной шарик диаметром d = 1 мм падает с постоянной ско-

ростью v = 0.185 см/c в большом сосуде, наполненном касторовым маслом. Най-

ти динамическую вязкость η касторового масла.

Ответ: η = 2 Па·с.

9.(В.4.15) В боковую поверхность цилиндрического сосуда радиусом R =

= 2 cм вставлен горизонтальный капилляр, внутренний радиус которого r = 1 мм

и длина l = 2 см. В сосуд налито касторовое масло, динамическая вязкость кото-

рого η =1.2 Па·с. Найти зависимость скорости v понижения уровня касторового

масла в сосуде от высоты h этого уровня над капилляром. Найти значение этой

скорости при h = 26 cм.

Ответ : v = r²*²ρgh/8lηR²; v = 30 мкм/c .

10.(В.4.20) Вода течёт по трубе, причём за секунду через поперечное сечение

трубы протекает объём воды Vt = 200 см³/c. Динамическая вязкость воды η =

= 0.001 Па·с. При каком предельном значении диаметра D трубы течение воды

остаётся ламинарным? Считать, что ламинарность течения жидкости (или газа) в

цилиндрической трубе сохраняется при числе Рейнольдса Re ≤ 3000 (если при

вычислении Re в качестве величины D взять диаметр трубы).

ЗАДАЧИ ГРУППЫ Б

1.(Ч.12.46) В широкой части горизонтально расположенной трубы нефть течёт со скоростью v1 = 2 м/c. Определить скорость v2 нефти в узкой части трубы, если разность Δр давлений в широкой и узкой частях её равна 6.65 кПа.

Ответ: 4.33 м/c.

2.(Ч.12.49) К поршню спринцовки, расположенной горизонтально, приложена сила F = 15 Н. Определить скорость v истечения воды из наконечника сприн- цовки, если площадь S поршня равна 12 см².

Ответ: 5 м/c.

3.(В.4.3) На столе стоит сосуд с водой, в боковой поверхности которого

имеется малое отверстие, расположенное на расстоянии h1 от дна сосуда и на

расстоянии h2 от уровня воды. Уровень воды в сосуде поддерживаеися посто-

янным. На каком расстоянии l от сосуда (по горизонтали) струя воды падает

на стол в случае, если а) h1 = 25 см, h2 = 16 см ; б) h1 = 16 см, h2 = 25 см?

Ответ: В обоих случаях струя воды падает на стол на одинаковом рассто-

янии l = 0.4 м от сосуда.

4.(В.4.4) Сосуд, наполненный водой, сообщается с атмосферой через стек-

лянную трубку, закреплённую в горлышке сосуда (рис. 24). Кран К находится

Рис. 24.

на расстоянии h2 = 2 см от дна сосуда. Найти скорость v вытекания воды из

крана в случае, если рассояние между нижним концом трубки и дном сосуда:

а) h1 = 2 см; б) h1 = 7.5 cм; в) h1 =10 см.

Ответ: а) v = 0; б) v = 1.05 м/c; в) v = 1.25 м/c.

5.(В.4.8) По горизонтальной трубе АВ течёт жидкость (рис.25). Разность

Рис. 25.

уровней жидкости в трубках а и b равна Δh = 10 см. Диаметры трубок а и

b одинаковы. Найти скорость v течения жидкости в трубе АВ.

Ответ: v = 1.4 м/c.

6.(В.4.9) Воздух продувается через трубку АВ (рис. 26). За единицу вре-

мени через трубку АВ протекает объем воздуха Vt = 5л/мин. Площадь попе-

Рис.26 28

речного сечения широкой части трубки АВ равна S1 = 2 см², а узкой её части

и трубки аbc равна S2 = 0.5 см². Найти разность уровней Δh воды, налитой

в трубку аbc. Плотность воздуха ρ = 1.32 кг/м³.

Ответ: Δh = 1.6 мм.

7.(В.4.11) Какой наибольшей скорости v может достичь дождевая капля

Диаметром d = 0.3 мм, если динамическая вязкость воздуха η = 12 мкПа·с?

Ответ : v = 4.1 м/c.

8.(В.4.13) Смесь свинцовых дробинок с диаметрами d1 =3 мм и d2 = 1 мм

опустили в бак с глицерином высотой h = 1 м. На сколько позже упадут на дно

дробинки меньшего диаметра по сравнению с дробинками большего диметра?

Динамическая вязкость глицерина η =1.47 Па·с.

Ответ: Δt = 4 мин.

9.(В.4.14) Пробковый шарик радиусом r = 5 мм всплывает в сосуде, на-

полненном касторовым маслом. Найти динамическую и кинематическую вяз-

кости касторового масла, если шарик всплывает с постоянной скоростью v =

= 3.5 см/с. Плотность касторового масла ρ = 900 кг/м³.

Ответ: η = 1.09 Па·с; v = 12.1 см²/c.

10.(В.4.16) В боковую поверхность сосуда вставлен горизонтальный ка-

пилляр, внутренний радиус которого r = 1 мм и длина l = 1.5 см. В сосуд на-

лит глицерин, динамическая вязкость которого η = 1.0 Па·с. Уровень глицери-

на поддерживается постоянным на высоте h = 0.18 м выше капилляра. Какое

время потребуется на то,чтобы из капилляра вытек объём глицерина V =5см³?

Ответ: t = 1.5 мин.

11.(В.4.19) Считая, что ламинарность течения жидкости (или газа) в ци-

линдрической трубе сохраняется при числе Рейнольдса Re ≤ 3000 (если при вы-

числении Re в качестве величины D взять диаметр трубы), показать, что усло-

вия задачи А2 соответстуют ламинарному течению. Кинематическая вязкость

газа v = 1.33 мкм²/c.

Ответ: Число Рейнольдса Re = 1800, т.е. Re < 3000 − течение ламинарное.

ЗАДАЧИ ГРУППЫ С

1. В сосуде с глицерином падает свинцовый шарик диаметром d. Считая,

что сила сопротивления среды пропорциональна скорости шарика v, найти за-

висимости v(t) и s(t). Оценить расстояние sуст, на котором скорость движения

шарика устанавливается. Плотности материала шарика ρ, глицерина ρ1 и коэф-

фициент вязкости глицерина η считать известными.

Ответ: v(t) = (F/k)[1- exp(−kt/m)], где F = V(ρ − ρ1)g, k = 3πηd;

s(t) = (F/k){ t − (m/k)[1− exp(− kt/m)]}.

2. При свободном падении парашютиста от момента выбрасывания с аэро-

стата до момента открытия парашюта сила сопротивления при этих скоростях

пропорциональна квадрату скорости. Найти зависимости скорости v(t) и пути

s(t), зная, что из опыта известна предельная скорость человека в воздухе ( vпр =

= 50 м/c). Оценить время и путь, в течение которого и на котором устанавлива-

ется vпр.

Ответ: v = − vпр [1 − exp(− 2gt/vпр)]/[1+ exp(− 2gt/vпр)].

hо − s(t) = vпр{t − ( vпр/g)(ln 2/[ 1+ exp(−2gt/vпр)]}, где ho − высота, с

которой начинается падение парашютиста.

3.(Ф.4.12) В бак с площадью поперечного сечения S налита жидкость

плотности ρ. Жидкость свободно вытекает из небольшого отверстия, располо-

женного на расстоянии H ниже уровня жидкости. Площадь отвестия равна S1.

Если внутреннее трение( вязкость) в жидкости отсутствует, с какой скоростью

она вытекает из отверстия?

Ответ: v = √ 2gH/[1 − (S1/S)²].

4.(И.1.357) По трубке длины l и радиуса R течёт стационарный поток

жидкости, плотность которой ρ и вязкость η. Скорость течения жидкости за-

висит от расстояния r до оси трубки по закону v = vo(1 − r²/R²). Найти:

а) объём жидкости, протекающей через сечение трубки в единицу времени;

б) кинетическую энергию жидкости в объёме трубки;

в) силу трения, которую испытывает трубка со стороны жидкости;

г) разность давлений на концах трубки.

Ответ: а) Q = (π/2)voR²; б) Ек = (π/6) l R²ρvo²; в) Fтр = 4πη l vo;

Г) Δр = 4η l vo/R².

5.(И.1.358) В системе ( рис.27 ) из широкого сосуда А по трубке вытека-

Рис. 27

ет вязкая жидкость, плотность которой ρ = 1.0 г/см³. Найти скорость вытека-

ющей жидкости, если h1 = 10см, h2 = 20см и h3 = 35см. Расстояния l одина-

ковы.

Ответ: v = 1м/c.

6.(И.1.362) Стальной шарик диаметра d = 3.0мм опускается с нулевой

скоростью в прованском масле, вязкость которого η = 90 мПа·с. Через сколь-

ко времени после начала движения скорость шарика будет отличаться от уста-

новившегося значения на n = 1.0%?

Ответ: t = −(ρd²/18η) ln n = 0.20 c.

7.(И.1.356) Жидкость с вязкостью η находится между двумя коаксиаль-

ными цилиндрами с радиусами R1 и R2, причём R1< R2. Внутренний цилиндр

неподвижен, а внешний вращают с постоянной угловой скоростью ω2. Движе-

ние жидкости ламинарное. Имея в виду, что сила трения, действующая на еди-

ницу площади цилиндрической поверхности радиуса r,определяется формулой

σ = ηr(∂ω/∂r), найти: а)угловую скорость вращающейся жидкости в зависимос-

ти от радиуса r; б) момент сил трения, действующих на единицу длины внеш-

него цилиндра.

30

Ответ: а) ω = ω2 R1²R2²(1/R1² − 1/r²) / (R2² − R1²);

б) Мтр = 4πηω2 R1²R2² /(R2² − R1²).

8.(С.1.338) На столе стоит цилиндрический сосуд высоты H, наполнен-

ный доверху водой. Пренебрегая вязкостью воды, определить высоту h, на ко-

торой нужно сделать в сосуде небольшое отверстие, чтобы вытекающая из не-

го струя попадала на стол на наибольшем удалении от сосуда.

Ответ: h = H/2.

9.(С.1.339) Цилиндрический сосуд высоты h =0.5 м и радиуса R=10 см на-

полнен доверху водой. В дне сосуда открывается отверстие радиуса r =1.0 мм.

Пренебрегая вязкостью воды, определить: а) время τ, за которое вся вода вы-

течет из сосуда; б) скорость v перемещения уровня воды в сосуде в зависимо-

сти от времени.

Ответ: а) τ =(R/r)²√2h/g = 3.2·10³ c = 53 мин;

б) v = (r/R)²*²g(τ − t).

10.(С.1.341) С мостика, переброшенного через канал, по которому течет

вода, опущена узкая изогнутая трубка, обращённая открытым концом навстре-

Рис. 28

чу течению (рис. 28). Вода в трубке поднимается на высоту h = 150 мм над

уровнем воды в канале. Определить скорость v течения воды.

Ответ: v = √2gh = 1.72 м/c.

11.(И.1.343) По горизонтальной трубе радиуса R= 12.5 мм течет вода. По-

ток воды через сечение трубы Q = 30.0 см³/c. Определить: а) характер тече-

ния; б) перепад давления на единицу длины трубы dp/dl. Вязкость воды при-

нять равной η = 1.00·10ˉ³ Па·с.

Ответ: а) Re = ρQ/πηR = 764 < 1000 − течение ламинарное;

б) dp/dl = 8ηQ/πR²*² = 3.1 Па/м (ρ − плотность воды).

12.(1.346) В высокий широкий сосуд налит глицерин(плотность ρо =1.21·

·10³ кг/м³, вязкость η = 0.350 Па·с). В глицерин погружают вдалеке от стенок

сосуда и отпускают без толчка шарик радиуса r =1.00 мм. Плотность шарика

ρ =10.0·10³ кг/м³. Первоначальная высота шарика над дном сосуда h = 0.50 м.

а) Определить, можно ли силу сопротивления движению шарика вычислять

по формуле Стокса. б) Найти зависимость пути s, пройденного шариком, от

времени t. г) Определить время t, по истечении которого скорость шарика

будет отличаться от предельного значения vo, не более чем на 1%.

Ответ: а) Re= 2gρo(ρ − ρo) r³/9η² = 0.19 < 0.25 − да, можно;

б) s =(b/a)t − (b/a²)[1 − exp(− at)], где a = 9η/2ρr², b =g(ρ − ρo)/ρ;

в) τ ≈ (ha² + b)/ab = 9.1 c; г) t = ln100/a = 0.029 c.

13.(И.1.344) Какую работу необходимо совершить, чтобы действуя постоянной силой на поршень, выдавить из горизонтально расположенного цилиндра через отверстие в его торце всю воду за время t? Начальный объём воды в цилинд- ре V, площадь сечения отверстия So много меньше площади поршня. Трение

и вязкость пренебрежимо малы.

Ответ: А = ρV³/2So²t².

Занятие 6. Механические гармонические колебания

и волны

СОДЕРЖАНИЕ ТЕОРИИ

1. Кинематика гармонических колебаний.

2. Энергия гармонических колебаний.

3. Гармонические осцилляторы (пружинный, математический и

физический маятники, идеальный колебательный контур).

4. Затухающие и вынужденные колебания.

5. Сложение колебаний.

6. Волны. Интерференция волн. Стоячие волны.

ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

1. Уравнение кинематики гармонического колебательного движения

x (t) = A cos (ωt + φ),

где x(t) − смещение колеблющейся точки от положения равновесия; t − время;

A, ω, φ − соответственно амплитуда, циклическая частота, начальная фаза коле-

баний; (ωt + φ) − фаза колебаний в момент t.

2. Скорость точки, совершающей гармонические колебания,

v(t) = dx/dt = − Aωsin(ωt + φ) = Аωсos(ωt + φ + π/2).

3. Ускорение при гармоническом колебании

a(t) = dv/dt = − Aω²cos(ωt + φ) = Aω²cos(ωt + φ +π).

4. Сила, вызывающая гармоническое колебание (сила упругости или

квазиупругая сила)

F = −kx,

где k − жёсткость пружины или коэффициент квазиупругой силы; x − отклоне-

ние колеблющейся точки от положения равновесия.

5. Связь циклической частоты и периода колебаний

ω = 2π/T. 32

Связь частоты и периода колебаний

v = 1/T,

где v и T − частота и период колебаний.