4. Связь потенциальной силы с потенциальной энергией

Потенциальная энергия тела и сила, действующая на тело в данной точке

силового поля, связаны соотношением

F = − grad U или F = − ( i ∂U/∂x + j ∂U/∂y + k ∂U/∂z ),

где i, j, k − единичные векторы (орты). В частном случае, когда силовое

поле обладает сферической симметрией ( как, например, гравитационное или

кулоновское),

Fr = − dU/dr.

32

5. Закон сохранения механической энергии

Закон сохранения энергии в механике выполняется в замкнутой системе, в

которой действуют только консервативные силы, и записывается в виде

Ек + U = E = const,

где Е − полная механическая энергия системы.

6. Совместное применение законов сохранения и импульса

Применяя законы сохранения энергии и импульса к прямому центрально-

му удару шаров, получаем формулу скорости абсолютно неупругих шаров

после удара

u = ( m1v1 + m2v2 )/ ( m1 + m2 )

и формулы скорости движения вполне упругих шаров после удара:

u1=[ v1(m1 − m2 ) + 2m2v2 ] /(m1 + m2 ),

u2 =[ v2(m2 − m1) + 2m1v1] / (m1 + m2 ),

где m1 и m2 − массы шаров; v1 и v2 − их скорости до удара.

ВОПРОСЫ И УПРАЖНЕНИЯ

1. Какими фундаментальными свойствами пространства и времени обуслов-

лены законы сохранения?

2. Какие силы называются внешними, внутренними? Какие системы мате-

риальных точек называются замкнутыми, незамкнутыми? Может ли сис-

тема вести себя как замкнутая в одном направлении?

n

3. Покажите, что для системы материальных точек dp /dt = F, где p = ∑mivi −

n i=1

импульс системы; F = ∑ Fi − результирующая всех внешних сил.

i=1

4. Дайте определение центра масс системы материальных точек; каковы его

его свойства?

5. Сформулируйте закон сохранения импульса для системы материальных

точек, указав на его связь с однородностью пространства. Приведите при-

меры проявления закона сохранения импульса, сохранения проекции им-

пульса.

6. Для каких систем справедлив закон сохранения механической энергии и

и как он формулируется? Укажите на его связь с однородностью простра-

нства.

7. Дайте определение: а) механической работы А; б) мощности N. Каковы

cвойства этих физических величин? В каких единицах они измеряются?

8. Что понимают под внутренней энергией системы в механике?

9. Какие силы называются консервативными, неконсервативными? Какие по-

ля являются потенциальными, непотенциальными? 33

10. Получите выражение для кинетической энергии движущейся материаль-

ной точки из второго закона Ньютона. Выедите формулу для потенциаль-

ной энергии: а) тела, поднятого над землей; б) упруго деформированной

пружины.

11. Какое взаимодействие называется ударом? Приведите примеры вполне

упругого и неупругого ударов.

12. Какими законами сохранения определяется соотношение между началь-

ным и конечным состоянием движения тел, участвующих в движении?

13. В какие виды энергии может переходить кинетическая энергия соударя-

ющихся тел? Позволяют ли законы сохранения определить, что происхо -

дит в процессе соударения?

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Пример 1. Груз массой m = 80 кг поднимают вдоль наклонной плоскости

с ускорением а =1 м/c². Длина наклонной плоскости l = 3 м, угол α её

наклона к горизонту равен 30°, а коэффициент трения μ = 0.15. Определить:

1) работу, совершаемую подъёмным устройством; 2) его среднюю мощность;

3) его максимальную мощность. Начальная скорость груза равна нулю.

Д а н о: m = 80 кг, а = 1 м/c², l = 3 м, α = 30°, μ = 0.15.

О п р е д е л и т ь : 1) A ; 2) < N > ; 3) Nmax.

Рис 12.

Р е ш е н и е. Уравнение движения груза в векторной форме

m a = F + F1 + F2 + Fтр + N.

В проекциях на оси х и у ( рис. 12) это уравнение принимает вид

Ma = F − F1 − Fтр,

0 = N − F2 ,

где F1 = mg sinα, F2 = mg cosα, Fтр = μN = μmg cosα.

Поэтому

F = m( a + gsinα + μg cosα).

Работа, совершаемая подъёмным устройством,

34

A = Fl = ml(a +gsinα + μgcosα)

Средняя мощность, развиваемая подъёмным устройством,

< N > = A /t,

где t =√ 2l/a − время подъёма груза. Следовательно,

< N > A / √ a/(2l).

Максимальная мощность, развиваемая подъёмным устройством,

Nmax = F vmax = Fat.

Подставляя значения, получим

Nmax = m√2al ( a + g sinα + μg cosα).

Вычисляя, получим: 1) А = 1.72 кДж; 2) <N > = 702 Вт; 3) Nmax= 1.41кВт.

Пример 2. Два свинцовых шара массами m1 = 2 кг и m2 = 3 кг подвеше-

ны на нитях длиной l = 70 cм. Первоначально шары соприкасаются между со-

бой, затем меньший шар отклонили на угол α = 60° и отпустили ( рис.13).

Рис.13

Считая удар центральным и неупругим, определить: 1) высоту h, на которую

поднимутся шары после соударения; 2) энергию ΔЕк, израсходованную на де-

формацию шаров при ударе.

Д а н о: m1 = 2 кг, m 2 = 3 кг, h = 70 см = 0.7 м, α = 60°.

О п р е д е л и т ь: 1) h; 2) ΔEк.

Р е ш е н и е. Удар неупругий, поэтому после соударения шары движутся

С общей скоростью v, которую найдем из закона сохранения импульса:

m1 v1 + m2 v2 = ( m1 + m2 ) v, (1)

где v1 и v2 − скорости шаров до удара. Скорость v1 малого шара найдем из

закона сохранения механической энергии:

m1gh1 = m1v1 ² /2 (2)

откуда

v1 = √2gh1 = √ 2gl(1−cosα ) = 2√gl · sin(α/2)

(учли, что h1 = l( 1 −cosα)).

Из выражений (1) и (2) при условии, что v2 = 0, получим 35

v = m1v1 / (m1 + m ) = [ 2m1√gl ·sin(α /2)]/( m1 + m2 ). (3)

Из закона сохранения механической энергии имеем

( m1 + m2 ) v² /2 = ( m1 + m2 )gh,

откуда искомая высота

h = v² /g = [ 2m1²lsin²( α /2 )] / ( m1 + m2 )²

(учли формулу (3)).

Энергия, израсходованная на деформацию шаров при ударе,

Δ Eк = m1v1² / 2 − ( m1 + m2 ) v²/ 2, (4)

или, подставив (2) в (4), получим

ΔЕк =[ 2gl m1m2 sin² (α/ 2 )]/ (m1 + m2 ).

Вычисляя, получим: 1) h = 5.6 см; 2) ΔEк = 4.12 Дж.

ЗАДАЧИ ГРУППЫ А

1.(В.2.40) Камень, пущенный по поверхности льда со скоростью v =

= 3 м/c, прошел до остановки расстояние s = 20.4 м. Найти коэффициент

трения μ камня о лед.

Ответ: μ = v² /2gs = 0.02.

2.(В.2.46) С башни высотой h = 25 м горизонтально брошен камень со

скоростью vo = 15 м/с. Найти кинетическую энергию Ек и потенциальную Еп

энергии камня через время t = 1 c после начала движения. Масса камня m =

= 0.2 кг.

Ответ: Ек = 32.2 Дж; Еп = 39.4 Дж.

3.(В.2.59) Конькобежец массой М = 70 кг, стоя на коньках на льду, бро-

сает в горизонтальном направлении камень массой m = 3 кг со скоростью

v = 8 м/c. На какое расстояние s откатится при этом конькобежец, если коэф-

фициент трения коньков о лёд μ = 0.02 ?

Ответ: s = 0.3 м.

4.(В.2.67) Шар массой m = 3 кг движется со скоростью v = 4 м /c и уда-

ряется о неподвижный шар такой же массы. Считая удар центральным и аб-

солютно упругим, найти количество теплоты Q , выделившееся при ударе.

Ответ: Q = 12 Дж

5.(В.2.80) Стальной шарик массой m = 20 г, падая с высоты h1 = 1 м

на стальную плиту, отскакивает от неё на высоту h2 = 81 см. Найти импульс

р, полученный плитой за время удара, и количество теплоты Q, выделив- шейся при ударе.

Ответ: р = 0.17 кг м /c; Q = 37.2 мДж.

6.(В.2.84) Нейтрон (масса mo) соударяется с неподвижным ядром ато-

ма углерода ( m = mo ). Считая удар центральным и вполне упругим, найти,

во сколько раз уменьшится кинетическая энергия Ек нейтрона при ударе.

Ответ: Ек / Ек' =1.4.

7.(В.2.87) Какой продолжительности Т должны были бы быть сутки на

Земле, чтобы тела на экваторе не имели веса?

Ответ: Т = 1 ч 25 мин.

8.(В.2.118) Гиря массой m =0.5 кг, привязанная к резиновому шнуру

длиной lo, описывает в горизонтальной плоскости окружность. Частота вра-

щения гири n = 2 об /с. Угол отклонения резинового шнура от вертикали

α = 30°. Жесткость шнура к = 0.6 кН /м. Найти длину lo нерастянутого

резинового шнура.

Ответ: lo = 6.3 см.

9.(В.2.123) Льдина площадью поперечного сечения S = 1 м² и высотой

h = 0.4 м плавает в воде. Какую работу А надо совершить, чтобы полностью

погрузить льдину в воду?

Ответ: A = Sgh² (ρo − ρ )² / 2ρo = 7.84 Дж , где ρо − плотность воды и

ρ − плотность льда.

10.(В.2.124) Найти силу гравитационного взаимодействия F между дву-

−10

мя протонами, находящимися на расстоянии r = 10 м друг от друга. Мас-

− 27

са протона m = 1.67 · 10 кг.

−44

Ответ: F = 1.86 10 H.

11.(В.2.129) Сравнить ускорение свободного падения у поверхности Лу-

ны gл с ускорением свободного падения у поверхности Земли gз

Ответ: gл = 0.165 gз .

12.(В.2.142) Найти зависимость ускорения свободного падения g от

высоты h над поверхностью Земли. На какой высоте h ускорение свобод-

ного падения g (h) составляет 0.25 ускорения свободного падения g у по-

верхности Земли?

Ответ: g(h) / g = R²/(R + h)² ≈ 1 − 2h / R ; g(h) = 0.25 g на высоте,

равной радиусу Земли.

ЗАДАЧИ ГРУППЫ Б

1.(В.2.77) Пластмассовый шарик, падая с высоты h = 1 м, несколько

раз отскакивает от пола. Найти коэффициент восстановления k при ударе

шарика о пол, если с момента падения до второго удара о пол прошло время

t = 1.3 с.

Ответ: k = ( t − √2h1/g ) /2√ 2h1/g = 0.94.

2.(Т.1.81) Тело массой m = 5 кг поднимают с ускорением а = 2 м/c². 37

Определить работу A силы в течение первых пяти секунд.

Ответ: A = 1.48 кДж.

3.(Т.1.83) Определить работу, совершаемую при подъёме груза массой

m = 50 кг по наклонной плоскости с углом наклона α = 30º к горизонту на

расстояние s = 4 м, если время подъёма t = 2 c, а коэффициент трения μ=

= 0.06.

Ответ: A = 1.48 кДж.

4.(Т.1.85) Насос мощностью N используют для откачки нефти с глуби-

ны h. Определить массу жидкости m, поднятой за время t, если к.п.д.

насоса равен η .

Ответ: m = η N t/(gh) .

5.(Т.1.88) Материальная точка массы m = 1 кг двигалась под действии-

ем некоторой силы согласно уравнению s = A −B t + C t² − D t³ (B= 3 м /c

C = 5 м/c², D = 1 м /c³ ). Определить мощность N , затрачиваемую на движе-

ние точки в момент времени t = 1 c.

Ответ: N = 16 Вт.

6.(Т.1.98) Тело массой m = 0.5 кг бросают со скоростью vo =10 м/c

под углом α = 30º к горизонту. Пренебрегая сопротивлением воздуха, оп-

ределить кинетическую Ек, потенциальную Еп и полную Е энергии те-

ла: 1) через t = 0.4 с после начала движения; 2) в высшей точке траектории.

Ответ: 1) Ек = 19.0 Дж, Еп = 5.9 Дж, Е = 24.9 Дж;

2) Ек = 18.7 Дж, Еп =6.2 Дж, Е = 24.9 Дж.

7.(Т.1.110) С вершины идеально гладкой сферы радиусом R = 1.2 м

соскальзывает небольшое тело. Определить высоту h (от вершины сферы),

с которой тело со сферы сорвется.

Ответ: h = 0.4 м.

8.(Т.1.127) Два шара массами m1 = 200 г и m2 = 400 г подвешены на

на нитях длиной l = 67.5 см. Первоначально шары соприкасаются между со-

бой, затем первый шар отклонили от положения равновесия на угол α =60º и

отпустили. Считая удар упругим, определить на какую высоту h поднимется

второй шар после удара.

Ответ: h = [ 4m1²l ( 1− cos α) ]/ ( m1 + m2)² = 15 см.

9.(Т.1.175) Планета массы М движется по окружности вокруг Солнца

со скоростью v ( относительно гелиоцентрической системы отсчета ). Опре-

делить период обращения Т этой планеты вокруг Солнца.

Ответ: Т = 2π GM / v³.

10.(Т.1.187) Имеется тонкий однородный стержень массой m и длиной

l. Для точки, находящейся на одной прямой со стержнем на расстоянии а от

его ближайшего конца, определить : 1)потенциал гравитационного поля φ

стержня ; 2) напряженность g его гравитационного поля.

Ответ: 1) φ = − Gm ln [(a +l)/l] /l; 2) g ={ Gm /[a(a+l)]} i,

i − единичный орт.

11.(Т.1.188) Тонкий однородный диск радиусом R имеет массу m .

определить в точке А, расположенной на оси диска на расстоянии h от

него: 1) потенциал φ гравитационного поля; 2) напряженность g гра-

витационного поля.

Ответ: φ =[ −G 2m (√ h² + R² − h ) ]/ R² ;

g = { [G2m( 1 − h / √ h² + R²)]/R²} i, i − единичный вектор.

ЗАДАЧИ ГРУППЫ С

1.(С.1.79) Первоначально покоившаяся частица, находясь под действи-

ем силы F = 1 i + 2 j + 3 k (Н), переместилась из точки (2, 4, 6) (м) в точку

( 3, 6, 9 ) (м). Найти кинетическую энергию Ек частицы в конечной точке.

Ответ: Ек = Fx (x2 − x2 ) + Fy (y2 − y1 ) + Fz (z2 − z1 ) = 14 Дж.

2.(С.1.80) Находясь под действием постоянной силы с компонентами

(3, 10, 8) (Н), частица переместилась из точки 1 с координатами (1, 2, 3) (м)

В точку 2 с координатами (3, Здесь2, 1) (м).

а) Какая при этом совершается работа А ?

б) Как изменилась кинетическая энергия Ек частицы ?

Ответ: а) А = −10 Дж, кинетическая энергия получила приращение ΔЕк=

= − 10 Дж, т.е. уменьшилась на 10 Дж.

3.(С.1.90) Потенциальная энергия частицы имеет вид: а) U = α /r,

б) U = kr²/2, где r − модуль радиус-вектора r частицы. α и k − констан-

ты ( k > 0). Найти силу F, действующую на частицу, и работу А, совершае-

мую над частицей при переходе её из точки (1, 2, 3) в точку (2, 3, 4).

Ответ: а) F = ( α /r²) er, A = 0,082α, б) F = − kr, А = − 7,5k.

4.(И.1.139) Частица совершила перемещение по некоторой траектории

в плоскости ху из точки 1 с радиус-вектором r1 = I + 2j в точку 2 с ра-

диус-вектором r2 = 2i −3j. При этом на неё действовали некоторые силы, од-

на из которых F = 3i + 4j. Найти работу, которую совершила сила F. Здесь

r1, r2 и F − в СИ.

Ответ: A = F (r2 − r1) = − 17 Дж.

5.(И.1.142) Кинетическая энергия частицы, движущейся по окружности

радиуса R, зависит от пройденного пути по закону v = α √ s , где α −посто-

янная, s − пройденный путь. Найти суммарную работу всех сил,действующих

на частицу, в зависимости от s .

Ответ: A = m α²* ²t² / 8

6.(И.1.145) Шайба массы m = 50 г соскальзывает без начальной скорости

по наклонной плоскости, составляющей угол α = 30º с горизонтом, и, пройдя

по горизонтальной плоскости расстояние l = 50 cм, останавливается. Найти

работу сил трения на всём пути, считая всюду коэффициент трения μ =0.15.

Ответ: A = − kmgl / ( 1 – k ctgα ) = − 0.05 Дж

39

7.(И.1.146) Два бруска с массами m1 и m2, соединенные недерфор-

мированной легкой пружинкой, лежат на горизонтальной плоскости. Коэффи-

циент трения между брусками и плоскостью равен μ. Какую минимальную

постоянную силу нужно приложить в горизонтальном направлении к бруску с

массой m1, чтобы брусок сдвинулся с места?

Ответ: Fмин = ( m1 + m2 /2 ) kg.

8.(И.1.155) Система состоит из двух последовательно соединенных пру-

жинок с жёсткостями k1 и k2. Найти минимальную работу, которую необхо-

димо совершить, чтобы растянуть эту систему на Δl.

Ответ: Aмин = k(Δl)²/2, где k = k1 k2 /(k1 + k2 ).

9.(И.1.169) В К-системе отсчета вдоль оси х движутся две частицы:

одна массы m1 − со скоростью v1, другая массы m2 − со скоростью v2. Най-

ти: а)скорость V К '-системы отсчета, в которой суммарная кинетическая энер-

гия этих частиц минимальна; б)суммарную кинетическую энергию Eк этих час-

тиц в К '- системе.

Ответ: а) V = ( mv1 + mv2 )/( m1 + m2 );

б) Ек = μ ( v1 – v2 )²/2, где μ = m1 m2 /( m1 + m 2).

10.(И.1.176) Летевшая горизонтально пуля массы m попала, застряв в

тело массы М, которое полвешено на двух одинаковах нитях длины l. В ре-

зультате нити отклонились на угол α. Считая m « M, найти: а) скорость

пули перед попаданием в тело; б) относительную долю первоначальной кине-

тической энергии пули η, которая перешла во внутреннюю энергию.

Ответ: а) v = ( 2M/m) √gl · sin(α/2) ; η ≈ 1 − m /M .

11.(И.1.184) В результате упругого лобового столкновения частицы 1

массы m1 с покоившейся частицей 2 обе частицы разлетелись в противополо-

жных направлениях с одинаковыми скоростями. Найти массу частицы 2.

Ответ: m2 = 3 m1.

12.(И.1.237) Найти период обращения спутника, движущегося вокруг не-

которой планеты вблизи её поверхности, если средняя плотность планеты ρ =

= 3.3 г/см³.

Ответ: T = √ 3π /γρ = 1.8 ч.

ЛИТЕРАТУРА

1. Волькенштейн В.С. Сборник задач по общему курсу физики. 12− изд. М.:

Наука. 1990. с. 400.

2. Чертов А. Г., Воробьёв А.А. Задачник по физике. 6−изд., перераб. и доп.

М.: Интеграл-Пресс, 1997.− с. 554.: ил.

3. Трофимова Т. И. Сборник задач по курсу физики. М.: Высш. шк., 1991.

303 с.: ил.

4. Савельев И.В. Сборник вопросов и задач по общей физике. 2− изд.,пер.

М.: Наука. 1988. 288 с.: ил.

5. Иродов И. Е. Задачи по общей физике. 2− изд., перераб. М.: Наука. 1988.

416 с., ил. 40

МИНИСТЕРСТВООБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

Федеральное государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

“ ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ”

Кузнецов В.Г., Куропаткина С.А.

С Б О Р Н И К

ВОПРОСОВ, УПРАЖНЕНИЙ И

ЗАДАЧ ПО КУРСУ ОБЩЕЙ ФИЗИКИ

В МОДУЛЬНОЙ СИСТЕМЕ

Модуль 1