6. Работа и мощность момента силы

Работа, совершаемая внешней силой при вращении твердого тела, вокруг зак-

репленной оси

φ

А = ∫ Мz dφ,

o

где Мz − проекция момента сил на неподвижную ось вращения; dφ − элементар-

ный угол поворота.

Работа постоянного момента силы М, вращающего тело вокруг неподвижной

оси

А = Мφ,

где φ − полный угол поворота.

Мощность момента силы М, развиваемая при вращении

N = Mω,

где ω − угловая скорость.

7. Кинетическая энергия вращательного движения

Ек = I ω²/2.

Кинетическая энергия тела, катящегося по плоскости без проскальзывания:

Eк = mv²/2 + Iω²/2,

где mv²/2 − кинетическая энергия его поступательного движения, а Iω²/2 −

кинетическая энергия вращательного движения.

17. Связь работы с изменением кинетической энергии при вращени

Работа момента сил, действующего на тело, идет на приращение вращатель-

ной кинетической энергии тела

7

А = Δ Ек = Iω²2/2 − Iω²1/2.

18. Гироскоп. Частота прецессии гироскопа

Гироскоп − всякое массивное твердое тело, вращающееся вокруг некоторой

оси с болшой угловой скоростью. Если гироскоп вращается вокруг некоторой

оси и на негодействуют силой, закручивающей его вокруг второй оси, перпен-

дикулярной первой, то он начинает вращаться (прецессировать) вокруг третьей

оси, парнедикулярной первым двум. Частота прецессии волчка под действием

силы тяжести при отклонении его от вертикали

ωп = mgh / Io ω,

где m − масса волчка, h − расстояние от точки опоры до центра масс, Io и ω −

момент инерции и угловая скорость относительно первой оси.

ВОПРОСЫ И УПРАЖНЕНИЯ

1. Дайте определение твердого тела в механике.

2. Как определяется момент силы M относительно: а) точки;б) оси вращения?

Каковы свойства этой величины? Какова размерность?

3. Исходя из основного закона динамики в форме d p / dt = F, получите урав-

нение динамики вращательного движения для материальной точки d L/dt = M.

4. Дайте определение момента импульса L относительно: а) точки; б)оси вра-

щения. Каковы свойства этой величины? Какова размерность?

5. Получите уравнение моментов для материальной точки, движущейся по ок-

ружности, относительно неподвижной оси вращения I β = M .

6.Чему равен момент инерции I материальной точки относительно оси враще-

ния?

7. Запишите выражение для кинетической энергии твердого тела, вращающего-

ся вокруг закрепленной оси. Чему равна кинетическая энергия твердого тела

при плоском движении?

8. Запишите и сформулируйте теорему Штейнера.

9. Приведите примеры вычисления для моментов инерции однородных тел пра-

вильной формы.

10. Сформулируйте понятие об эллипсоиде инерции.

n

11. Покажите, что для системы материальных точек d L/dt = M, где L= ∑[ri m vi]

n i=1

− момент импульса системы, M =∑Mi − результирующий момент внешних сил.

i=1

12. Дайте определения собственного, орбитального и полного момента импульса

твердого тела.

13. Сформулируйте закон сохранения момента импульса для системы материаль-

ных точек.

14. Запишите уравнение вращательного движения твердого тела вокруг неподви-

жной оси.Чему равен момент инерции твердого тела относительно оси вращения?

Является ли эта величина аддитивной?

15. Как определить работу внешних сил при вращении твердого тела вокруг непо-

движной оси? Чему равна мощность при вращательном движении?

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Пример 1. Через неподвижный блок в виде однородного сплошного цилиндра

массой m = 160 г перекинута невесомая нить, к концам которой подвешены грузы

массами m1 = 200 г и m2 = 300 г. Пренебрегая трением в оси блока и сопротивле- 8

нием воздуха, определить: 1) ускорение а грузов; 2) силы натяжения нитей Т1

Т2 соответственно.

Рис. 14

Дано: m = 160 г = 0,16 кг, m1 = 200 г = 0,2 кг, m2 = 300 г = 0,3 кг.

О п р е д е л и т ь: 1) a; 2) T1, T2.

Р е ш е н и е. Направив ось х вертикально вниз (рис. 14), запишем для

каждого груза уравнение движения (второй закон Ньютона) в проекциях на эту

ось:

m1a = T1 – m1g, (1)

m2a = m2g − T2, (2)

где Т1 и Т2 − силы натяжения нитей; они неодинаковые; так как Т2 > T1, то

за счет этого обеспечивается вращающий ммент, действующий на блок.

Согласно основному закону динамики вращательного движения вращающий

момент, приложенный к цилиндру

Мо = Ioβ, (3)

где Io − момент инерции цилиндра относительно оси вращения, перпендикуляр-

ной плоскости чертежа; β − угловое ускорение. С другой стороны

Мо = ( Т2′ − Т1′) R, (4)

где Т1′ и Т2′ − силы, приложенные к ободу цилиндра; R − плечо этих сил, равное

радиусу цилиндра. По третьему закону Ньютона, с учетом невесомости нити Т1′=

= Т1 и Т2′ = Т2. Воспользовавшись этим, получим, приравняв (3) и (4),

Ioβ = (Т2 – Т1) R, (5)

где − Io = mR²/2; β = a/R.

Решение уравнений (1), (2), (5) после подстановки значений Io и β приводит

к искомому выражению для ускорения:

a = ( m2 – m1)g/( m1 + m2 + m/2).

Из уравнений (1) и (2) находим силы натяжения Т1 и Т2:

T1 = m1(g + a); T2 = m2(g − a).

Вычисляя, получим: 1) a = 1.69 м/c²; 2) T1 = 2.3 H; T2 = 2.44 H.

Пример 2. Человек сидит в центре скамьи Жуковского, вращающейся с час-

тотой n1 = 30 минˉ¹. В вытянутых руках он держит по гире массой m = 5 кг каж-

дая. Расстояние от каждой гири до оси вращения l1 = 60 см. Суммарный момент 9

инерции человека и скамьи относительно оси вращения Io = 2 кг·м². Определить:

1) частоту n2 вращения скамьи с человеком; 2) какую работу А совершит чело-

век, если он прижмет гантели к себе так, что рассояние от каждой гири до оси

станет равным l2 = 20 см.

Д а н о: n1 = 30 минˉ¹, m = 5 кг, l1= 60 cм = 0.6 м, Io = 2 кг·м², l2 = 20см = 0.2 м.

О п р е д е л и т ь: 1) n2 ; 2) A.

Р е ш е н и е. По условию задачи момент внешних сил относительно верти-

кальной оси вращения равен нулю, поэтому момент импульса этой системы сох-

раняется, т.е.

J1ω1 = J2ω2, (1)

где J1 = So + 2ml1² и J2 = So + 2ml2² − соответственно момент инерции всей сис-

темы до сближения и после сближения; m− масса каждой гири.Угловая скорость

ω = 2πn. Подставляя это выражение в уравнение (1), получим искомую частоту

вращения:

n2 = ( So + 2ml1²)·n1/( So + 2ml2²).

Работа, совершаемая человеком, равна изменению кинетической энергии сис-

темы:

A = Eк2 − Ек1 = J2ω2²/2 − J1ω1²/2.

Выразив из уравнения (1) ω2 = J1ω1²/J2, получим:

A = J1ω1²[(J1/J2 − 1)]/2 = J1ω1²(J1 − J2)/2J = 2J1π²n1²(J1 − J2)/J2.

Вычисляя, находим: 1) n2 = 70 минˉ¹; 2) A= 36.8 Дж.

Пример 3. Вычислить момент инерции Iz молекулы NO2 относительно оси z,

проходящей черз центр масс молекулы перпендикулярно плоскости, содержащей

ядра атомов. Межъядерное расстояние d этой молекулы равно 0.118 нм, валент-

ный угол α = 140°.

Р е ш е н и е. Молекулу NO2 можно рассматривать как систему, состоящую

из трёх материальных точек общей массой

m = 2m1 + m2, (1)

где m1 − масса атома кислорода; m2 − масса атома азота. Расположим молекулу

Рис. 15

относительно координатных осей так, как это указано на рис. 15 (начало коорди-

нат совместим с центром масс С молекулы, ось z направим перпендикулярно

плоскости чертежа «к нам»).

Для определения Iz воспользуемся теоремой Штейнера:

I = I c + ma².

Для данного случая эта теорема запишется в виде Iz′ = Iz + ma², где Iz′ − момент

инерции относительно оси z′, параллельной оси z и проходящей через атом азо-

та (точка О на рис. 15). Отсюда искомый момент инерции 10

Iz = Iz′ − ma². (2)

Момент инерции Iz′ находим как сумму моментов двух материальных точек (ато-

мов кислорода):

Iz′ = 2m1d². (3)

Расстояние а между осями z и z′ равно координате хс центра масс системы

И поэтому может быть выражено по формуле хс =Σmixi/Σmi. В данном случае

a = xc = (2m1x1 + m2x2)/(2m1 + m2),

или, учитывая, что х1 = d cos(α/2) и х2 = 0,

а = хс = 2m1d cos(α/2)/ (2m1 + m2). (4)

Подставив в вформулу (2) значения Iz′ , m, а соответственно из выражений (3),

(1), (4), получим

Iz = 2m1d² − (2m1 + m2)[ 2m1/(2m1 + m2)]²d² cos²(α/2),

или после преобразований

Iz = 2m1d²[ 1 − 2m1 cos²(α/2)/(2m1 + m2)]. (5)

Зная относительные атомные массы кислорода ( Ао =16) и азота (АN = 14), запи-

шем массы атомов этих элементов в атомных единицах массы (а.е.м), а затем вы-

− 27 −27 − 27

разим в килограммах ( 1 а.е.м. = 1.66 ·10 кг): m1 = 16·1.66·10 кг = 2.66·10 кг;

− 27 −27

m2 = 14·1.66 ·10 кг = 2.32·10 кг.

Значения m1, m2, d и α подставим* в формулу (5) и произведем вычисления:

−46

Iz = 6,80 ·10 кг·м².

(*Для вычисления выражения, стоящего в скобках, вместо масс атомов можно под-

ставить их относительные массы, так как здесь массы входят в виде отношения).

Пример 4. Маховик в виде диска массой m = 50 кг и радиусом R = 20 см

был раскручен до частоты вращения n1 = 480 минˉ¹ и затем представлен самому

себе. Вследствие трения маховик остановился. Найти момент М сил трения, счи-

тая его постоянным для двух случаев: 1) маховик остановился через t = 50 c;

2) маховик до полной остановки сделал 200 оборотов.

Р е ш е н и е. 1. По второму закону динамики вращательного движения изме-

нение момента импульса вращающегося тела равно произведению момента силы,

действующего на тело, на время действия этого момента:

MΔt = Iω2 − Iω1,

где I − момент инерции маховика; ω1 и ω2 − начальная и конечная угловые ско-

рости. Так как ω2 = 0 и Δt = t, то Мt = − Iω1, откуда

М = − Iω1/t. (1)

Момент инерции диска относительно его геометрической оси равен I = mR²/2.

Подставив это выражение в формулу (1), найдем 11

М = − mR²ω1/(2t). (2)

Выразив угловую скорость ω1 через частоту вращения n1 и произведя вычи-

сления по формуле (2), найдем

М = − 1Н·м.

5. В условии задачи дано число поворотов, сделанных маховиком до останов-

ки, т.е. его угловое перемещение. Поэтому применим формулу, выражающую связь

работы с изменением кинетической энергии:

A = Iω2²/2 − Iω1²/2,

или, учтя, что ω2 = 0,

А = − Iω1²/2. (3)

Работа при вращательном движении определяется по формуле А = Мφ. Под-

ставив выражения работы и момента инерции диска в формулу (3), получим

Мφ = − mR²ω1²/4.

Отсюда момент сил трения

М = − mR²ω1²/(4φ). (4)

Угол поворота φ = 2πN = 2·3.14·200 рад = 1256 рад. Произведя вычисления

по формуле (4), получим

М = − 1Н·м.

Знак минус показывает, что момент сил трения оказывает тормозящее дейст-

вие.

Пример 5. Стержень длиной l = 1.5 м и массой М = 10 кг может вращаться

вокруг неподвижной оси, проходящей через верхний конец стержня (рис. 16). В

середину стержня ударяет пуля массой m = 10 г, летящая в горизонтальном на-

правлении со скоростью vo = 500 м/c, и застревает в стержне. На какой угол φ

отклонится стержень после удара?

Рис.16

Р е ш е н и е. Удар пули следует рассматривать как неупругий: после удара

и пуля, и соответствующая точка стержня будут двигаться с одинаковыми ско-

ростями. 12

Рассмотрим подробнее явления, происходящие при ударе. Сначала пуля, уда-

рившись о стержень, за ничтожно малый промежуток времени приводит его в

движение с угловой скоростью ω и сообщает ему кинетичекскую энергию

Ек = Iω²/2, (1)

где I − момент инерции стержня относительно оси вращения.

Затем стержень поворачивается на искомый угол φ, причём центр масс его

поднимается на высоту h = (l/2)(1 − cos φ). В отклоненном положении стер-

жень будет обладать потенциальной энергией

Еп = Мg(l/2)(1 − cos φ). (2)

Потенциальная энергия получена за счет кинетической энергии и равна ей

по закону сохранения энергии. Приравняв правые части равенств (1) и (2), по-

лучим

Mg(l/2)(1− cosφ) = Iω²/2.

Отсюда

cosφ = 1 − Iω²/(Mgl).

Подставив в эту формулу выражение для момента инерции стержня I = Ml²/3,

получим

cosφ =1 − lω²/(3g). (3)

Чтобы из выражения (3) найти φ, необходимо предварительно определить

значение ω. В момент удара на пулю и стержень действуют силы тяжести, ли-

нии действия которых проходят через ось вращения и направлены вертикально

вниз. Моменты этих сил относительно оси вращения равны нулю. Поэтому при

ударе пули о стержень будет справедлив закон сохранения момента импульса.

В начальный момент удара угловая скорость стержня ωо = 0, поэтому его

собстенный момент ипульса So1 = Iωo = 0. Пуля коснулась стержня и начала уг-

лубляться в стержень, сообщая ему угловое ускорение и участвуя во вращении

около оси. Начальный орбитальный момент импульса пули Lo1 = mvor, где r −

расстояние точки попадания от оси вращения. В конечный момент удара стер-

жень имел угловую скорость ω, а пуля − линейную скорость v, равную линей-

ной скорости точек стержня, находящихся на расстоянии r от оси вращения.

так как v = ωr, то конечный момент импульса пули L2 = mvr = mr²ω.

Применив закон сохранения момента импульса, можем написать

Lo1 + Lo2 = L1 + L2, или mvor = Iω + mr²ω,

откуда

ω = mvor/(I + mr²), (4)

где I = Ml²/3 − момент инерции системы стержень − пуля.

Если учесть, что в (4) mr²« I = Ml²/3, а также, что r = l/2, то после неслож-

ных преобразований получим

ω = 3mvo/(2Ml). (5)

Подставив числовые значения величин в (5), найдем 13

ω = 3·10ˉ²·500 /(2·10·1.5) рад = 0.5 рад.

По (3) получим

cosφ = 1 − 1.5(0.5)²/(3·9.8) = 0.987.

Следовательно, φ = 9°20′.

ЗАДАЧИ ГРУППЫ А

1.(В.3.3) К ободу однородного диска радиусом R = 0.2 м приложена ка-

сательная сила F = 98.1 Н. При вращении на диск действует момент сил трения

Мтр = 4.9 Н·м. Найти массу m диска, если известно, что диск вращается с уг-

ловым ускорением β = 100 рад/c².

Ответ: m = 2( FR – Mтр )/βR² = 7.36 кг.

2.(В.3.5) Однородный диск радиусом R = 0.2 м и массой m =5 кг вра-

щается вокруг оси, проходящей через его центр перпендикулярно к его плоско-

сти. Зависимость угловой скорости ω вращения диска от времени t дается

уравнением ω = А + Вt, где В = 8 рад/c². Найти касательную силу F, прило-

женную к ободу диска. Трением пренебречь.

Ответ: F = 4.0 H.

3.(В.3.9) Маховое колесо, момент инерции которого I = 245 кг м², враща-

ется с частотой n = 20 об/c. Через время t = 1 мин после того, как на колесо

перестал действовать момент сил М, оно остановилось. Найти момент сил тре-

ния Мтр и число оборотов N, которое сделало колесо до полной остановки пос-

ле прекращения действия сил. Колесо считать однородным диском.

Ответ: Мтр = 513 Н·м; N = 600 об.

4.(В.3.12) На барабан радиусом R = 0.5 м намотан шнур, к концу кото-

рого привязан груз массой m = 10 кг. Найти момент инерции I барабана, если

известно, что груз опускается с ускорением а = 2.04 м/c².

Ответ: I = 9.5 кг·м².

5.(В.3.14) Две гири с разными массами соединены нитью, перекинутой че-

рез блок, момент инерции которого I = 50 кг·м² и радиус R = 20 см. Момент сил

трения вращающегося блока Мтр = 98.1 Н·м. Найти разность сил натяжения нити

Т1 – Т2 по обе стороны блока, если известно, что блок вращается с угловым уско-

рением β = 2.36 рад/c². Блок считать однородным диском.

Ответ: Т1 – Т2 = ( Iβ + Mтр) /R = 1.08 кН.

6.(В.3.26) Медный шар радиусом R = 10 см вращается с частотой n = 2 об/c

вокруг оси, проходящей ерез его центр. Какую работу надо совершить, чтобы уве-

личить угловую скорость ω вращения шара вдвое?

Ответ: A = 3.2π³ R²*³ρn² = 34.1 Дж, где ρ −плотность меди.

7.(В.3.27) Найти линейные ускорения а центров: 1) шара, 2) диска и

3) обруча, скатывающихся без скольжения с наклонной плоскости. Угол наклона

плоскости φ = 30°, начальная скорость всех тел vo = 0. Сравнить найденные уско-

рения с ускорением тела, соскальзывающего с наклонной плоскости при отсутст-

вии трения. 14

Ответ: a = mg sinφ/( m + I/R²); 1)a1 = 3.50 м/c², 2) a2 = 3.27 м/c², 3)a3 =2.44м/c²;

при свободном скольжении а = g sinφ = 4.9 м/c².

8.(В.3.31) Вентилятор вращается с частотой n = 900 об/мин. После выклю-

чения вентилятор, вращаясь равнозамедленно, сделал до остановки N = 75 об. Ра-

бота сил торможения А = 44.4 Дж. Найти момент инерции I вентилятора и мо-

мент сил торможения М.

Ответ: I = 0.01 кг·м²; M = 94·10ˉ³ H·м.

9.(В.3.32) Маховое колесо, момент инерции которого I = 245 кг·м², враща-

ется с частотой n = 20 об/c. После того как на колесо перестал действовать вра-

щающий момент, оно остановилось, сделав N = 1000 об. Найти момент сил тре-

ния Мтр и время t, прошедшее от момента прекращения действия вращающего

момента до остановки колеса.

10.(В.3.34) Маховое колесо начинает вращаться с угловым ускорением β =

= 0.5 рад/c² и через t1 = 15 c после начала движения приобретает момент импуль-

са L = 73.5 кг·м²/c. Найти кинетическую энергию Ек колеса через время t2 = 20 c

после начала движения.

Ответ: Eк = βLt2²/2t1 = 490 Дж.

11.(В.3.38) Однородный стержень длиной l = 85 см подвешен на горизон-

тальной оси, проходящей через верхний конец стержня. Какую минимальную ско-

рость vмин надо сообщить нижнему концу стержня, чтобы он сделал полный обо-

рот вокруг оси?

Ответ: vмин = 7.1 м/с.

12.(В.3.40) Горизонтальная платформа массой m =100 кг вращается вокруг

вертикальной оси, проходящей через центр платформы, с частотой n1 = 10 об/мин.

Человек массой mo = 60 кг стоит при этом на краю платформы. С какой частотой

n2 начнет вращаться платформа, если человек перейдёт от края платформы к её

центру?Считатать платформу однородным диском, а человека − точечной массой.

Ответ: n2 = n1( m + 2mo)/m = 22 об/мин.

13.(В.3.41) Какую работу А совершает человек при переходе от края плат-

формы мы к её центру в условиях предыдущей задачи? Радиус платформы R =

= 1.5 м.

Ответ: А = 162 Дж.

ЗАДАЧИ ГРУППЫ Б

1.(Ч.3.21) Тонкий однородный стержень длиной l =50 см и массой m=400 г

вращается с угловым ускорением β = 3 рад /c² около оси, проходящей перпенди-

кулярно стержню через его середину. Определить вращающий момент.

Ответ: M = ml²β/12 = 0.025 Н·м.

2.(Ч.3.25) Через блок, имеющий форму диска, перекинут шнур. К концам

шнура привязаны грузики массой m1 = 100 г и m2 = 110 г. С каким ускорением

а будут двигаться грузики, если масса m блока равна 400 г? Трение при враще-

нии блока ничтожно мало.

Ответ: a = 2(m2 - m1)g/(m + 2m1 + 2m2) = 0.24 м/c².

15

3.(Ч.3.27) Через неподвижный блок массой m = 0.2 кг перекинут шнур,

к концам которого подвесили грузы массами m1 = 0.3 кг и m2 = 0.5 кг. Опреде-

лить силы натяжения Т1 и Т2 шнура по обе стороны бдлка во время движения

грузов, если масса блока равномерно распределена по ободу.

Ответ: T1 = m1(m + 2m2)g/(m1 + m2 + m) = 3.53 H,

T2 = m2(m + 2m1)g/(m1 + m2 + m) = 3.92 H.

4.(Ч.3.28 Шар массой m = 10 кг и радиусом R = 20 см вращается вокруг

оси, проходящей через его центр. Уравнение вращения шара имеет вид φ = А +

+ Вt² + Ct³, где В = 4 рад/c², С = − 1 рад/c³. Найти закон изменения момента сил,

действующих на шар. Определить момент сил М в момент времени t = 2 c.

Ответ: M = 4/5 mR² ·(B + 3Ct) = − 0.64 H·м.

5.(Т.1.137) Полная кинетическая энергия Е диска, катящегося по горизон-

тальной поверхности, равна 24 Дж. Определить кинетическую энергию Ек пост и

Ек вр вращательного движения дска.

Ответ: Ек пост = 16 Дж, Ек вр = 8 Дж.

6.(Т.1.146) Маховик в виде сплошного диска, момент инерции которого I=

= 1.5 кг·м², вращаясь при торможении равнозамедленно, за время t =1 мин умень-

шил частоту своего вращенич с no =240 об/мин до n1 = 120 об/мин. Определить:

1) угловое ускорение маховика; 2) момент М силы торможения; 3) работу тормо-

жения А.

Ответ: 1) 0.21 рад/c² ; 2) 0.047 Н·м ; 3) 355 Дж.

7.(Ч.3.36) В центре скамьи Жуковского стоит стоит человек и держит в ру-

ках стержень длиной l = 2.4 м и массой m = 8 кг, расположенный вертикально

по оси вращения скамьи. Скамья с человеком вращается с частотой n1 = 1 cˉ¹. С

какой частотой n2 будет вращаться скамья с человеком, если он повернёт стер-

жень в горизонтальное положение? Суммарный момент инерции I человека и

скамьи равен 6 кг·м².

Ответ: n2 = 12 I n1/(12 I + ml²) = 0.61 cˉ¹.

8.(Ч.3.39) Маховик вращается по закону, выражаемому уравнением φ =

= А + Вt + Сt², где А = 2 рад, В = 32 рад/c, C = − 4 рад/c². Найти среднюю мощ-

ность < N >, развиваемую силами, действующими на маховик при его вращении

до остановки, если его момент инерции I = 100 кг·м².

Ответ: 12.8 кВт.

9.(Ч.3.46) Маховик, момент инерции I которого равен 40 кг·м², начал

вращаться равноускоренно из состояния покоя под действием момента силы М =

= 20 Н·м. Вращение продолжалось в течение t = 10 с. Опрделить кинетическую

энергию Ек, приобретённую маховиком.

Ответ: Ек = М²(Δt)²/(2I) = 500Дж.

10.(Ч.3.52) Сколько времени t будет скатываться без скольжения обруч

c наклонной плоскости длиной l = 2 м и высотой h = 10 см?

Ответ: t = 2l√ gh = 4.04 c.

11.(Т.1.152) На однородный сплошной цилиндрический вал радиусом R=

= 20 см, момент инерции которого I = 0.15кг·м², намотана легкая нить, к концу 16

которой прикреплен груз массой m = 0.5кг. До начала вращения барабана высо-

та h груза над полом составляла 2.3 м. Определить: 1) время опускания груза

до пола ; 2) силу натяжениянити; 3) инетическую энергию груза в момент удара

о пол.

Ответ: 1) 2 с; 2) 4.31 H; 3) 1.32 Дж.

12. Однородный сплошной цилиндр массой m и радиусом R катится по

горизонтальной поверхности со скоростью центра масс Vo. Определить момент

импульса цилиндра Jo относительно оси, параллельной оси вращения и лежащей

на этой повехности.

Ответ: Jo = (3/2) [ RomVo]

ЗАДАЧИ ГРУППЫ С

1.(И.1.195) К точке, радиус- вектор которой относительно оси координат

О равен r = ai + bj, приложена сила F = Ai + Bj, где а,b,A,B − постоянные, i,j-

орты осей х и у. Найти момент Мо и плечо l силы F относительно оси О.

Ответ: Mo = ( aB – bA ) k, где k − орт оси z; l = ‌‌‌‌‌|aB – bA |/√ A² + B².

2.(И.1.196) Момент импульса частицы относительно некоторой точки О ме-

няется по закону Jo = a + bt², где a и b − постоянные векторы, причем a пер-

пендикулярен b. Найти относительно точки О момент Мо силы, действующей на

частицу, когда угол между векторами Мо и Jo окажется равным 45°.

Ответ: Мо = 2b √ a/b .

3.(С.1.120) Тело массой m брошено с начальной скоростью vo, образующей

угол α с горизонтом. Приняв плоскость, в которой движется тело, за плоскость

х, у и направив ось у вверх, а ось х − по направлению движения, найти вектор

момента импульса тела J относительно точки бросания в момент, когда тело на-

ходится в верхней точке траектории. Сопротивлением воздуха пренебречь.

Ответ: J = − (m vo³ sin²α cosα/2g) k.

4.(С.1.125) В условиях предыдущей задачи найти зависимость от времени:

а) момент M силы, действующей на частицу;

б) момент импульса частицы J.

Ответ: а) М = − mgvocosα t k ; б) J = − (1/2) mgvocosα t²k.

5.(И.1.198) Небольшая шайба массы m = 50 г начинает скользить с верши-

ны гладкой наклонной плоскости, высота которой h = 100 см и угол наклона к

горизонту α = 15°(Рис 17). Найти модуль момента импульса шайбы относитель-

но оси О, перпендикулярной к плоскости рисунка, через t = 1.3 c после начала

движения.

Рис.17

Ответ: Jo = (1/2)mght sin 2α = 0.16 кг·м²/c.

17

6.(И.1.204) Частица движется по замкнутой траектории в центральном си-

ловом поле, где её потенциальная энергия U = kr², k − положительная постоян-

ная, r − расстояние частицы до центра поля О. Найти массу частицы, если наи-

меньшее расстояние её до точки О равно r1, а скорость на наибольшем рассто-

янии от этой точки − v2.

Ответ: m =2kr1²/v2².

7.(И.1.210) Однородный шар массы m и радиуса R начинает скатывать-

ся без скольжения по наклонной плоскости, составляющей угол α с горизон-

том. Найти зависимость от времени момента импульса шара относительно точ-

ки касания в начальный момент. Как изменится результат в случае абсолютно

гладкой наклонной плоскости?

Ответ: J = Rmgt sinα.

8.(И.1.226) Космическое тело А движется к Солнцу С, имея вдали от

него скорость vo и прицельный параметр l − плечо вектора vo относительно

Рис. 18

центра Солнца (рис.18). Найти наименьшее расстояние, на которое это тело при-

близится к Солнцу.

Ответ: rмин = [√ 1 + (lvo²/γmc)² − 1] γmc/vo², где mc − масса Солнца.

9.(И.1.250) Какую наименьшую работу надо совершить, чтобы доставить

космический корабль массы m = 2.0 ·10³ кг с повехности Земли на Луну? Cопро-

тивление воздуха не учитывать.

Ответ: A ≈ γm ( M1/R1 + M2/R2 ) = 1.3 ·10² ГДж, где М и R − масса и

радиус Земли и Луны.

10.(И.1.253) Однородный шар массы m = 4.0 кг движется поступательно по

поверхностистола под действием постоянной силы F, приложенной, как показано

Рис.19

на рис.19, где угол α = 30°. Коэффициент трения между шаром и столом μ= 0.20.

найти F и ускорение шара.

Ответ: F = kmg/ [(1 + μ) sinα] = 13 H; a = μg (ctgα − 1)/(1+μ) = 1.2 м/c².

11.(И.1.255) Найти момент инерции:

а) тонкого однородного стержня относительно оси, перпендикулярной к стер-

жню и проходящей через его конец, если масса стержня m и его длина l;

18

б) тонкой однородной прямоугольной пластинки относительно оси,проходящей

через одну из вершин пластинки перпендикулярно к еёё плоскости, если стороны

пластинки равны a и b, а её масса − m.

Ответ: a) I = ml²/3; б) I = m( a² + b²)/3.

12.(И.1.257) Вычислить момент инерции:

а) медного однородного диска относительно оси симметрии, перпендикуляр-

ной к плоскости диска, если его толщина b = 2.0 мм и радиус R = 100 мм;

б) однородного сплошного конуса относительно его оси симметрии, если

масса конуса m и радиус его основания R.

Ответ: a) I = πρbR²*²/2 = 2.8 г·м²; б) I = (3/10) mR².

13.(И.1.268) Однородный цилиндр радиуса R раскрутили вокруг его оси

до угловой скорости ωо и поместили затем в угол (рис.20). Коэффициент тре-

Рис.20

ния между стенками угла и цилиндром равен μ. Сколько оборотов сделает ци-

линдр до остановки?

Ответ: n = (1 + μ²) ωo²R/8πμ (μ + 1)g.

14.(И.1.270) Однородный диск радиуса R раскрутили до угловой скорос-

ти ω и осторожно положили плашмя на гаризонтальную поверхность. Сколь-

ко времени диск будет вращаться на поверхности, если коэффициент трения ра-

вен μ?

Ответ: t = 3ωR/4μg.

15.(И.1.294) В системе, показанной на рис.21 известны масса m груза A,

масса М ступенчатого блока В, момент инерции I последнего относительно

Рис.21

его оси и радиусы ступеней блока R и 2R. Масса нитей пребрежимо мала. Най-

ти ускорение груза А.

Ответ: a = g ( m – M)/( M + m + I/R²).

19

Занятие 5. Механика жидкостей и газов

СОДЕРЖАНИЕ ТЕОРИИ

5. Законы гидростатики.

6. Стационарное течение идеальной жидкости или газа.

7. Течение вязкой жидкости. Формула Пуазейля.

8. Турбулентное течение вязкой жидкости. Число Рейнольдса.

ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ