- •Передмова
- •Змістовний модуль 1 предмет і методологія статистики, система показників
- •Тема 1. Методологічні основи статистики
- •Тема 2. Статистичне спостереження
- •Тема 3. Зведення і групування статистичних даних
- •Групування підприємств торгівлі за розміром товарообігу
- •Дані про робітників підприємства
- •Групування робітників за стажем роботи
- •Робоча таблиця “ Розподіл робітників за стажем роботи ”
- •Групування робітників за стажем роботи
- •Групування робітників за стажем роботи і продуктивністю праці
- •Чисельність робітників, осіб, за варіантами
- •Тема 4. Узагальнюючі статистичні показники
- •Абсолютні величини
- •Індивідуальні
- •Сумарні
- •Тема 5. Аналіз рядів розподілу.
- •Формули для обчислення дисперсій
- •Тема 6. Статистичні методи вимірювання взаємозв'язків
- •Розрахункова таблиця для визначення непараметричних показників щільності зв'язку
- •Допоміжні розрахунки характеристик для парного кореляційно-регресійного аналізу
- •Тема 7. Вибірковий метод
- •Умовні позначення і формули розрахунку узагальнюючих характеристик генеральної і вибіркової сукупностей
- •Формули середніх помилок вибірки для середньої і частки
- •Формули граничних помилок вибірки для середньої і частки
- •Формули визначення чисельності вибірки для середньої і частки
- •Змістовний модуль 3 статистичні методи вивчення динаміки і тенденцій розвитку
- •Тема 8. Аналіз інтенсивності динаміки
- •Тема 9. Аналіз тенденцій розвитку
- •Рівняння, що використовуються при аналітичному вирівнюванні динамічних рядів
- •Виробництво продукції на підприємствах за 2003-2009 рр., тис. Грн. (дані умовні)
- •Тема 10. Індексний метод
- •Основні формули загальних індексів у формі середньої і методи їх одержання
- •Тема 11. Подання статистичних даних: таблиці, графіки, карти
- •Основні поняття та терміни статистики
- •Учені-статистики
- •Програмні питання до модуля "статистика" для підготовки до іспиту чи заліку
- •Література
- •Грецький алфавіт
Тема 5. Аналіз рядів розподілу.
АНАЛІЗ КОНЦЕНТРАЦІЇ, ДИФЕРЕНЦІАЦІЇ ТА ПОДІБНОСТІ РОЗПОДІЛУ
Показники варіації в аналізі доповнюють розрахунок середніх величин, характеризуючи міру коливань, варіації ознаки в сукупності.
Кількісна оцінка міри ознаки, що коливається, в сукупності виконується за допомогою показників варіації. Розрізняють абсолютні і відносні показники варіації.
Формули для обчислення показників варіації
Статистична характеристика варіації |
Формула |
|
проста |
зважена |
|
Розмах варіації |
|
|
Середнє лінійне відхилення |
|
|
Дисперсія |
|
|
|
||
|
||
Середнє квадратичне відхилення |
|
|
|
||
Відносний розмах варіації або коефіцієнт осциляції |
|
|
Відносне лінійне відхилення або лінійний коефіцієнт варіації |
|
|
|
|
Середнє квадратичне відхилення і середнє лінійне відхилення - це узагальнюючі характеристики розмірів варіації ознаки в сукупності, вони виражаються в тих самих одиницях виміру, що й ознака.
При порівняно простих значеннях ознаки використовується спрощений спосіб розрахунку дисперсії і середнього квадратичного відхилення - метод різниці середніх (різниці квадратів):
; .
За не згрупованими даними:
; .
За згрупованими даними:
Спосіб моментів:
,
де А – модальна варіанта;
і- величина інтервалу.
Середня і дисперсія альтернативної ознаки. Треба внести умовні позначення для альтернативної ознаки і побудувати альтернативний ряд розподілу.
Альтернативна ознака набуває значення 1, що означає наявність ознаки; 0 - її відсутність; р - доля одиниць, що володіють даною ознакою, q - відповідно, що не володіють даною ознакою. Тоді середнє значення альтернативної ознаки буде дорівнювати: при цьому p + q = 1, тобто q =1 – p.
Дисперсія і середнє квадратичне відхилення розраховуються за співвідношенням:
.
Види дисперсій та їх взаємозв'язок. При проведенні групування сукупності, що вивчається, за факторною ознакою (х) варіацію результативної ознаки ( у) можна оцінити за допомогою 3-х видів дисперсії: загальної ( ), міжгрупової ( ), середньої з внутрішньогрупових дисперсій ( ).
Загальна дисперсія характеризує варіацію результативної ознаки під впливом всіх чинників, що викликають цю варіацію.
Міжгрупова дисперсія відображає варіацію результативної ознаки під впливом чинника, покладеного в основу групування.
Середня з внутрішньогрупових дисперсій показує варіацію результативної ознаки під впливом всіх чинників, окрім групувального.
Формули для обчислення дисперсій
Показник |
Формула |
Примітка |
Загальна дисперсія |
|
- частота ознаки |
Міжгрупова дисперсія |
|
- середня результативної ознаки за кожною i-ою групою; - частота появи ознаки в i-ій групі ; - номер групи |
Середня з внутрішньогрупових дисперсій |
|
- внутрішньогрупова дисперсія або дисперсія i-ої групи |
Між видами дисперсій існує взаємозв'язок, називаний правилом складання дисперсій:
= + .
Це правило використовується в статистиці для визначення міри тісноти зв'язку між ознаками, що вивчаються.
Приклад 1
За даними типового завдання, розглянутого у темі «Узагальнюючі статистичні показники», визначаються показники варіації.
Група підприємств за чисельністю робітників, осіб x |
Кількість підпри-ємств f |
Група підприємств за чисельністю робітників, осіб x |
xf |
|
|
|
100-200 |
1 |
150 |
150 |
150-510= =-360 |
129600 |
129600 |
200-300 |
3 |
250 |
750 |
-260 |
67600 |
202800 |
300-400 |
7 |
350 |
2450 |
-160 |
25600 |
179200 |
400-500 |
30 |
450 |
13500 |
-60 |
3600 |
108000 |
500-600 |
19 |
550 |
10450 |
+40 |
1600 |
30400 |
600-700 |
15 |
650 |
9750 |
+140 |
19600 |
294000 |
700-800 |
5 |
750 |
3750 |
+240 |
57600 |
288000 |
Підсумок |
|
- |
=40800 |
- |
- |
= 1232000 |
Обчисляється таке.
1. Розмах варіації: ; осіб
2. Середнє квадратичне відхилення, зважене звичайним методом за формулою:
.
Розраховується середня за формулою арифметичної зваженої:
.
Необхідні обчислення зробити в таблиці, підставити їх у формули:
осіб;
особи.
Звідси , тобто це дисперсія.
3. Коефіцієнт варіації:
,
.
Середня чисельність робітників на підприємствах регіон ( осіб) відхиляється від чисельності робітників в окремих групах (x) в середньому на 124 особи ( ), або 24,8%. Тобто середня є типовою, а сукупність – якісно однорідною.
Приклад 2
Є аналітичне групування залежності середньої заробітної плати робітників від віку.
Група робітників за віком, років |
Число робітни-ків, fi |
Середня заробітна плата, грн., у |
|
|
до 20,0 |
5 |
280, 320, 360, 350, 290 |
1600 |
320 |
20,0 – 30,0 |
8 |
420, 400, 510, 490, 380, 440, 480,500 |
3600 |
450 |
30 і старше |
7 |
570, 600, 680, 630, 560, 440, 620 |
4200 |
600 |
Усього |
20 |
|
9400 |
470 |
Визначити: 1) загальну, міжгрупову і середню з внутрішньогрупових дисперсій; 2) перевірити правило складання дисперсій.
Загальна дисперсія по заробітній платі розраховується за формулою простої дисперсії: ,
де середня заробітна плата всіх робітників;
грн.,
13450.
Міжгрупова дисперсія:
11700,
де - середня зарплата в i-ій групі, представлена в таблиці.
Середня з внутрішньогрупових дисперсій. Розраховуються дисперсії в кожній групі:
;
2025;
Середня з внутрішньогрупових дисперсій:
.
Правило складання дисперсій: = + ;13450 = 11700 + 1750.
Необхідно звернути увагу на те, що у співставленні варіант і частот виявляється закономірність розподілу. Індивідуальними характеристиками ряду розподілу є абсолютна чисельність одиниць в окремій групі – f, а також відносні величини частот – частості:
Додатковою характеристикою варіаційних рядів є кумулятивна частота, яка визначена шляхом послідовних об'єднань груп і суми їх частот відповідно.
Якщо варіаційний ряд інтервальний з нерівними інтервалами, то частотні характеристики таких рядів незрівняні, і в аналізі розподілу використовують щільність розподілу (ξ) на одиницю частоти (частості):
або ,
розрахунок яких показує, як змінюється щільність зі збільшенням інтервалу.
Форма розподілу залежить від співвідношення частот і значень варіантів ознак. Розподіл може бути одно-, дво- і багатовершинним. Наявність двох і більше вершин свідчить про неоднорідність сукупності. Розподіл якісно однорідних сукупностей, як правило, одновершинний, серед яких є симетричні і асиметричні (скошені).
Простою мірою асиметрії є відхилення між середньою арифметичною, медіаною (Ме) та модою (Мо).
При симетричному розподілі характеристики мають однакові значення, тобто
.
При асиметричному розподілі між ними існують певні відмінності:
при правосторонній асиметрії
;
при лівосторонній асиметрії
.
Стандартизовані відхилення або
характеризують напрям і міру скошеності (асиметрію):
А=0 розподіл симетричний;
А>0 правостороння асиметрія;
А<0 лівостороння асиметрія.
Як узагальнюючі характеристики розподілу використовують моменти (m), які бувають:
а) первинні, коли а = 0; б) центральні, коли а = .
Міра при розрахунку моментів визначає порядок моменту (першого, другого і т.д. порядків).
На основі розрахунку центральних моментів третього і четвертого порядків обчислюють для характеристики форм розподілу:
стандартизованный коефіцієнт асиметрії
,
коефіцієнт ексцесу
,
де m 3 и m 4 - центральні моменти відповідно третього і четвертого порядків.
Якщо:
А>0,5 , асиметрія висока;
А < 0,5 - середня;
А< 0,25 - низька.
Якщо:
Е = 3, розподіл симетричний, близький до нормального;
Е >3 - гостровершинний;
Е <3 - плосковершинний.
Оцінка концентрації розподілу відбувається на основі розрахунку коефіцієнта концентрації:
.
При К = 0 розподіл рівномірний, К = 1 - при повній концентрації. У інших випадках К буде тим більше, чим більша міра концентрації.
Приклад 3
За даними завдання, розглянутого у прикладі 1, визначається коефіцієнт асиметрії.
Група підприємств за чисельністю робітників, осіб x |
Кількість підприємств f |
|
|
|
150 |
1 |
-3 |
9 |
9 |
250 |
3 |
-2 |
4 |
12 |
350 |
7 |
-1 |
1 |
7 |
450 |
30 |
0 |
0 |
0 |
550 |
19 |
1 |
1 |
19 |
650 |
15 |
2 |
4 |
60 |
750 |
5 |
3 |
9 |
45 |
Підсумок |
|
- |
- |
= 152 |
При розв’язанні прикладу 3 у темі «Узагальнюючі статистичні показники» було визначено: осіб; осіб; . Визначається середнє квадратичне відхилення, застосовуючи метод моментів, за формулою:
.
Для обчислення необхідні обчислення розміщаються в таблиці (А = 450; i = 100):
;
особи.
Визначається коефіцієнт асиметрії за формулою:
.
Ступінь асиметрії оцінюють за значенням Кас, який змінюється від -3 до +3:
при симетричному (нормальному) розподілі , тобто Кас =0;
при більше моди, тобто, наявна правостороння асиметрія;
при менше моди, тобто наявна лівостороння асиметрія.
У даному ряді розподілу наявна незначна правостороння асиметрія.
Завдання 5.1
У результаті 4% вибіркового обстеження комерційних банків щодо розміру прибутку за рік отримано такий розподіл.
Розмір прибутку, млн. грн. |
Кількість банків |
4,7-5,6 |
3 |
5,6-6,5 |
2 |
6,5-7,4 |
4 |
7,4-8,3 |
5 |
більше 8,3 |
6 |
Разом |
20 |
За даними вибіркового спостереження визначити:
середній розмір прибутку банку;
дисперсію;
середнє квадратичне відхилення;
коефіцієнт варіації.
Зробити висновки.
Завдання 5.2
Проведено 5% вибіркове обстеження комерційних фірм щодо витрат на рекламу в газеті «Імідж». Результати представлено у таблиці.
Група фірм за витратами на рекламу, ум. грош. од. |
Кількість фірм |
до 15 |
5 |
15-20 |
8 |
20-25 |
15 |
25-30 |
10 |
30 і більш |
2 |
Разом |
40 |
За даними вибіркового обстеження обчислити:
середній розмір витрат на рекламу фірмою;
дисперсію;
середнє квадратичне відхилення;
коефіцієнт варіації.
Зробити висновки.
Завдання 5.3
Для вивчення тривалості користування кредитом проведене 2% вибіркове обстеження підприємств за методом випадкового безповторного відбору.
Результати обстеження показали такий розподіл підприємств за тривалістю користування кредитом.
Група підприємств за тривалістю користування кредитом, дні |
Кількість підприємств |
1 |
2 |
до 35 |
4 |
1 |
2 |
35-40 |
7 |
40-45 |
10 |
45-50 |
16 |
більше 50 |
13 |
Разом |
50 |
За даними вибіркового спостереження визначити:
середню тривалість користування кредитом;
дисперсію;
середнє квадратичне відхилення;
коефіцієнт варіації.
Зробити висновки.
Завдання 5.4
Для визначення середньої суми внеску в ощадбанках району, що має 9000 вкладників, проведена 10% механічна вибірка, результати якої представлено у таблиці.
Група вкладів за розміром, тис. грн. |
Число вкладників, осіб |
до 2 |
80 |
2-4 |
100 |
4-6 |
200 |
6-8 |
370 |
8 і більше |
150 |
Разом |
900 |
За даними вибіркового обстеження обчислити:
середній розмір внеску;
дисперсію;
середнє квадратичне відхилення;
коефіцієнт варіації.
Зробити висновки.
Завдання 5.5
Для вивчення вікової структури робітників фірми за станом на 1 липня було проведено 5% вибіркове обстеження методом випадкового безповторного відбору.
Результати обстеження показали такий розподіл робітників за віком.
-
Група робітників за віком, років
Чисельність робітників, осіб
до 20
10
20-30
18
30-40
40
40-50
24
50 років і старше
8
Разом
100
На підставі даних вибіркового обстеження обчислити:
середній вік робітника;
дисперсію;
середнє квадратичне відхилення;
коефіцієнт варіації.
Зробити висновки.
Завдання 5.6
Для вивчення норм виробітку робітників-верстатників на підприємстві було проведено 10% вибіркове спостереження.
У механічному порядку обстежено 400 робітників, які показали витрати часу на обробку деталі.
Витрат часу на одну деталь, хв. |
Чисельність робітників, осіб |
до 14 |
40 |
14-16 |
100 |
16-18 |
150 |
18-20 |
70 |
20 і вище |
40 |
Разом |
400 |
За даними вибіркового спостереження визначити:
середні витрати часу на обробку однієї деталі;
дисперсію;
середнє квадратичне відхилення;
коефіцієнт варіації.
Зробити висновки.
Завдання 5.7
З метою контролю якості продукції проведено вибіркове обстеження партії готових виробів. При механічному (безповторному) способі відбору 5% виробів встановлено, що 20 одиниць віднесено до нестандартної продукції, а розподіл вибіркової сукупності за вагою виявився таким.
Вага виробу, г |
Кількість зразків, од. |
до 300 |
5 |
300-320 |
20 |
320-340 |
45 |
340-360 |
20 |
більше 360 |
10 |
Разом |
100 |
На підставі вибіркових даних обчислити:
середню вагу виробу;
дисперсію;
середнє квадратичне відхилення;
коефіцієнт варіації.
Зробити висновки.
Завдання 5.8
Для визначення середнього відсотка виконання норми вироблення на підприємстві була проведена 10% механічна вибірка, результати якої представлено в таблиці.
Відсоток виконання норми виробітку |
Чисельність робітників, осіб |
до 90 |
4 |
90-100 |
16 |
100-110 |
40 |
110-120 |
30 |
120-130 |
10 |
Разом |
100 |
За даними вибіркового обстеження обчислити:
середній відсоток виконання норми виробітку одним робітником;
дисперсію;
середнє квадратичне відхилення;
коефіцієнт варіації.
Зробити висновки.
Завдання 5.9
Для визначення середнього доходу на одного члена сім'ї в районі було проведено 5% вибіркове обстеження методом випадкового безповторного відбору. Результати обстеження показали такий розподіл населення за доходами на одного члена сім'ї.
Доход, грн. |
Питома вага групи в загальній чисельності населення, у % |
До 800 |
20,0 |
800-1000 |
25,0 |
1000-1200 |
30,0 |
1200 і вище |
25,0 |
Разом |
100,0 |
За даними вибіркового обстеження визначити:
середній дохід на одного члена сім'ї;
дисперсію;
середнє квадратичне відхилення;
коефіцієнт варіації.
Зробити висновки.
Завдання 5.10
У результаті вибіркового аналізу 50 проб цукру, який надійшов в торгівельну мережу регіону, встановлена довжина кристалів (мм).
Довжина кристалів, мм |
Кількість проведених проб |
||||
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
до 1,2 |
10 |
8 |
12 |
9 |
15 |
1,2-1,5 |
20 |
22 |
28 |
21 |
35 |
1,5-1,8 |
50 |
40 |
50 |
55 |
25 |
1,8 і довше |
20 |
30 |
10 |
15 |
25 |
На основі даних за варіантами обчислити звичайним методом і методом моментів:
середню довжину кристалів цукру;
дисперсію;
середнє квадратичне відхилення;
коефіцієнт варіації.
Зробити висновки.
Завдання 5.11
За наведеними даними розрахувати види дисперсій за випуском продукції. Перевірити правило взаємозв'язку між дисперсіями.
Підпри-ємство |
Форма власності |
Валовий випуск продукції, тис. грн. |
Підприє-мство |
Форма власності |
Валовий випуск продукції, тис. грн. |
1 |
Колективна |
300 |
11 |
Колективна |
300 |
2 |
Державна |
400 |
12 |
Приватна |
290 |
3 |
Державна |
250 |
13 |
Колективна |
320 |
4 |
Колективна |
270 |
14 |
Колективна |
280 |
5 |
Державна |
295 |
15 |
Приватна |
250 |
6 |
Приватна |
405 |
16 |
Колективна |
350 |
7 |
Колективна |
315 |
17 |
Колективна |
250 |
8 |
Колективна |
290 |
18 |
Колективна |
270 |
9 |
Колективна |
320 |
19 |
Державна |
300 |
10 |
Приватна |
305 |
20 |
Державна |
250 |
Завдання 5.12
На основі вихідних даних визначити:
міжгрупову дисперсію результативного чинника;
загальну дисперсію.
На основі правила складання дисперсій визначити середню з групових дисперсій.
№ п/п |
Витрати на 1 грн. вартості продукції, коп |
Фондовіддача, грн. |
1 |
2 |
3 |
1 |
70,5 |
1,25 |
2 |
69,4 |
1,34 |
3 |
80,0 |
1,20 |
4 |
66,8 |
1,52 |
1 |
2 |
3 |
5 |
70,1 |
1,42 |
6 |
65,0 |
1,50 |
7 |
79,2 |
1,36 |
8 |
68,4 |
1,56 |
9 |
70,3 |
1,40 |
10 |
74,6 |
1,48 |
ТЕСТИ
1. Який з показників варіації дає найбільш порівнянну абсолютну оцінку варіації ознаки?
Лінійне відхилення.
Середнє квадратичне відхилення.
Коефіцієнт варіації.
2. Дисперсія зважена:
1) ; 2) ; 3) .
3. Середнє квадратичне відхилення зважене?
; 2) ; 3)
4. Середнє квадратичне відхилення просте?
1) ; 2) ; 3) .
5. У яких одиницях вимірюється коефіцієнт варіації?
Грошова одиниця.
Відсотки.
Що й варіююча ознака.
Коефіцієнти.
6. Який показник визначається за формулою: ?
Загальна дисперсія.
Середня з внутрішньогрупових дисперсій.
Міжгрупова дисперсія.
Коефіцієнт асиметрії.
7. Який показник визначається за формулою ?
Загальна дисперсія.
Міжгрупова дисперсія.
Середня з групових дисперсій.
Коефіцієнт асиметрії.
8. Який показник визначається за формулою ?
Середнє лінійне відхилення.
Розмах варіації.
Дисперсія альтернативної ознаки.
Середня альтернативної ознаки.
9. Який показник можна визначити за формулою ?
Розмах варіації.
Дисперсія.
Середнє лінійне відхилення просте.
Середнє квадратичне відхилення зважене.
10. Вказати формулу спрощеного способу розрахунку дисперсії.
1) ; 2) ; 3) ; 4) .