Тема 9. Аналіз тенденцій розвитку
Одним із завдань статистики при аналізі рядів динаміки є визначення основної тенденції розвитку. Основними показниками, що дають уявлення про тенденцію (тренди) розвитку явища за часом, є ланцюгові абсолютні прирости, ланцюгові темпи зростання і середні рівні.
Для виявлення тенденції у ряді динаміки переходять до обробки ряду за допомогою методів, заснованих на розрахунку середніх рівнів. До таких методів відносяться: укрупнення інтервалів часу, емпіричне згладжування (метод плинної середньої) і аналітичне вирівнювання.
Суть методу укрупнення інтервалів часу в динамічних рядах полягає в тому, що беруть дані за проміжки часу більшої тривалості в порівнянні з первинними. Укрупнення інтервалів слід починати з найменшого можливого, тобто інтервалу, об'єднуючого два рівні. У випадку, якщо укрупнення по два рівні не дає можливості побачити тенденцію, переходять до наступного можливого інтервалу.
Сутність методу плинної середньої полягає у заміні абсолютних рівнів їх середніми арифметичними за певні періоди. При цьому розрахунок середніх рівнів ведеться способом ковзання, тобто поступовим виключенням з прийнятого періоду ковзання першого рівня і включенням наступного.
Найбільш
ефективним способом виявлення основної
тенденції розвитку є аналітичне
вирівнювання.
При цьому рівні ряду динаміки виражаються
у вигляді функції часу:
.
Аналітичне вирівнювання може бути
здійснене за будь-яким раціональним
рівнянням тренду. Вибір форми рівняння
відбувається на основі аналізу характеру
закономірностей динаміки явища, що
вивчається. У таблиці приведено системи
рівнянь, які необхідно розв’язати для
визначення параметрів рівнянь, що
описують тенденції в рядах динаміки.
При
аналізі рядів динаміки у низці випадків
виникає необхідність у виявленні
сезонних
коливань.
Для їх визначення зазвичай аналізуються
місячні і квартальні рівні ряду динаміки
за рік або за декілька років (в основному
не менш трьох). При виявленні і оцінці
сезонності розраховують спеціальні
показники - індекси сезонності
(
).
Способи
визначення індексів сезонності різні
і залежать від характеру ряду динаміки.
Рівняння, що використовуються при аналітичному вирівнюванні динамічних рядів
Рівняння |
Система рівнянь |
|
звичайний спосіб розрахунку параметрів |
спрощений спосіб розрахунку параметрів |
|
Пряма
|
|
|
Парабола другого порядку
|
|
|
Показова
крива |
|
|
Гіпербола
|
|
|
У рядах, що не мають яскраво вираженої тенденції розвитку (або вона не спостерігається зовсім), вивчення сезонності засноване на методі простої середньої. Суть цього методу полягає в тому, що показники сезонної хвилі визначаються відсотковим відношенням відповідних середніх місячних (квартальних рівнів) до їх загальної середньої за весь період, що вивчається. Отже, при вивченні щомісячної сезонності спочатку середні за місяцями і середню річну обчислюють з даних за декілька років (за простою арифметичною), а потім ці середні за місяцями року ( ) відносять до середньої річної (до середнього місячного рівня для визначених років) ( ), тобто індекс сезонності обчислюється за формулою:
.
У
рядах динаміки, що мають тенденцію
розвитку, для визначення індексів
сезонності спочатку розраховують рівні,
згладжені методом плинної середньої.
Індекси сезонності обчислюються
відношенням фактичного рівня за певний
квартал або місяць
(
)
до
того, що вирівнюється за цей самий період
(
).
У
результаті при використанні, наприклад,
квартальних даних за три роки отримують
дванадцять індексів сезонності:
.
Потім обчислюють середні індекси сезонності для однойменних кварталів за дані роки:
.
Приклад 1
За наведеними даними зробити вирівнювання динамічного ряду за прямою.
Рік |
Виробництво цементу, лн.. т |
Умовні значення років |
Розрахунок |
||
y |
t |
t2 |
yt |
|
|
2004 |
61 |
1 |
1 |
61 |
58,8 |
2005 |
62 |
2 |
4 |
124 |
65,4 |
2006 |
72 |
3 |
9 |
216 |
72,0 |
2007 |
80 |
4 |
16 |
320 |
78,6 |
2008 |
85 |
5 |
25 |
425 |
85,2 |
Підсумок |
|
|
|
|
|
Рівняння прямої:
,
де – вирівняне (теоретичне) значення рівня ряду;
a, b – параметри;
a – постійне значення рівня ряду при t = 0;
b – швидкість зміни рівнів ряду, які визначають основну тенденцію зміни рівня ряду (виробництво цементу) у часі;
t – періоди часу або їх умовне значення.
Щоб знайти параметри рівняння прямої (a і b), застосується система нормальних рівнянь:
,
де n – кількість відрізків часу; n = 5 років.
Для розв’язання робляться необхідні розрахунки в таблиці та підставляються дані в систему нормальних рівнянь і одержується:
-
-3
1
Звідси
.
Підставляється 6,6 у перше рівняння та одержується:
,
звідки
.
Таким чином, визначивши параметри прямої a і b та підставивши їх в рівняння, одержано:
.
За цим рівнянням розраховуються теоретичні (вирівняні) значення виробництва цементу та заносяться до таблиці:
млн.
т
млн.
т
млн.
т
млн.
т
млн.
т.
Оскільки (емпіричні, фактичні рівні виробництва) дорівнює , то розрахунки зроблено вірно.
Рівняння
може бути використано для прогнозування,
тобто знаходження рівня ряду на
перспективу з врахуванням виявленої
тенденції виробництва за попередній
період (2004 – 2008 рр.), тобто застосовується
метод екстраполяції. Наприклад, знайдено
прогнозне значення виробництва цементу
на 2009 рік (t
= 6);
млн.
т,
або
2015 р. (t
= 15)
млн. т.
Приклад 2
За наведеними даними про реалізацію яєць в регіоні в групі підприємств за квартали за 2007 – 2010 рр. обчислити індекс сезонності і зробити висновки (млн. шт.).
Квартал |
Рік |
|
|
(у %) |
|||
2007 |
2008 |
2009 |
2010 |
||||
А |
y1 |
y2 |
y3 |
y4 |
|||
I |
114 |
118 |
120 |
120 |
472 |
118 |
77,6 |
II |
186 |
199 |
224 |
239 |
848 |
212 |
139,5 |
III |
146 |
149 |
136 |
164 |
595 |
149 |
98,0 |
IV |
120 |
139 |
129 |
126 |
514 |
129 |
84,9 |
Підсумок |
|
|
|
|
|
|
100,0 |
,
Обчислюється таке.
Середні за чотири роки за окремі квартали обсяги реалізації за формулою:
,
де n = 4;
для
I кв.
млн. шт.;
для
II
кв.
млн. шт.;
для
III
кв.
млн. шт.;
для
IV
кв.
млн. шт.
Середню квартальну реалізацію загальну за 4 роки в регіоні:
,
де n = 16 кварталів;
млн.
шт.
або за формулою:
,
де n
= 4;
млн.
шт.
Індекси сезонності за формулою:
.
.
Зображується графічно сезонна хвиля реалізації яєць за період.
квартал
,
у %
Рис. 1 - Сезонна хвиля реалізації яєць за період
Завдання 9.1
Ринкова ціна акцій компанії на біржовому ринку цінних паперів характеризується визначеними даними.
День торгів |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
Ринкова ціна акцій, грн. |
150 |
160 |
90 |
88 |
87 |
94 |
101 |
Для вивчення тренду ринкової ціни акцій:
здійснити аналітичне вирівнювання ряду за прямою і виразити зміни математичним рівнянням;
визначити рівні ряду динаміки, що вирівнюються (теоретичні), і нанести їх на графік з вихідними (емпіричними) даними.
Зробити висновки.
Завдання 9.2
Динаміка реалізації кондитерських виробів у магазинах міста характеризується даними, т.:
січень - 5,0
лютий - 6,0
березень - 7,5
квітень - 9,0
травень - 8,0
червень - 6,4
липень - 7,2
Для вивчення загальної технології реалізації кондитерських виробів:
зробити аналітичне вирівнювання ряду за прямою і виразити загальну тенденцію зростання (падіння) відповідним рівнянням;
визначити рівні ряду динаміки, що вирівнюються (теоретичні), і нанести їх на графік з вихідними (емпіричними) даними.
Зробити висновки.
Завдання 9.3
Експорт товарів області в ближнє зарубіжжя характеризується даними, млн. дол.
Базисний рік за кварталом |
Звітний рік за кварталом |
|||||||
1 |
2 |
3 |
4 |
1 |
2 |
3 |
4 |
|
48,8 |
75,9 |
69,9 |
62,9 |
64,4 |
129,2 |
116,0 |
93,4 |
|
Для вивчення загальної тенденції експорту товарів в ближнє зарубіжжя:
зробити аналітичне вирівнювання ряду за прямою і виразити загальну тенденцію ряду (падіння) відповідним математичним рівнянням;
визначити рівні ряду динаміки, що вирівнюються (теоретичні), і нанести їх на графік з вихідними (емпіричними) даними.
Зробити висновки.
Завдання 9.4
Динаміка експортних цін на цукор-пісок (за тонну) з Донецької області характеризується такими даними (в дол. США).
Січень |
Лютий |
Березень |
Квітень |
Травень |
Червень |
Липень |
2760,9 |
2751,4 |
2614,3 |
2609,2 |
2520,0 |
2200,7 |
1910,5 |
Для вивчення загальної тенденції цін на цукор-пісок:
зробити аналітичне вирівнювання рівнів ряду за прямою і виразити загальну тенденцію зниження цін відповідним математичним рівнянням;
визначити рівні ряду динаміки, що вирівнюються (теоретичні), і нанести їх на графік з вихідними (емпіричними) даними;
Зробити висновки.
Завдання 9.5
Є дані про обсяг імпорту в ближнє зарубіжжя за 2008-2009рр. (млн. дол.):
2008 р. поквартально |
2009 р. поквартально |
||||||
1 |
2 |
3 |
4 |
1 |
2 |
3 |
4 |
72,4 |
85,4 |
102,5 |
89,6 |
68,1 |
115,2 |
171,8 |
138,2 |
Для вивчення загальної тенденції розвитку обсягу імпорту в ближнє зарубіжжя:
зробити аналітичне вирівнювання рівнів ряду за прямою і виразити загальну тенденцію відповідним математичним рівнянням;
визначити рівні ряду динаміки, що вирівнюються (теоретичні), і нанести їх на графік з вихідними (емпіричними) даними.
Зробити висновки.
Завдання 9.6
Є дані про зовнішньоторговий обіг регіону за 2003-2009 рр. (млн. дол.):
2003 – 2,1
2004 – 2,4
2005 – 3,5
2006– 4,8
2007 – 14,1
2008 – 6,4
2009 – 6,5
Для вивчення загальної тенденції розвитку зовнішньоторгового обороту регіону:
зробити аналітичне вирівнювання рівнів ряду за прямою і виразити загальну тенденцію зростання відповідним математичним рівнянням;
визначити рівні ряду динаміки, що вирівнюються (теоретичні), і нанести їх на графік з вихідними (емпіричними) даними.
Зробити висновки.
Завдання 9.7
Динаміка врожайності зернових культур у господарствах області за 2000-2009рр. може бути описана на рівні тренда:
=
18,8 + 0,82t
.
Пояснити зміст отриманих параметрів. Передбачаючи, що виявлена закономірність зміни врожайності зернових культур збережеться, визначити очікувані рівні цих показників у 2012 р.; у 2015 р.
Завдання 9.8
Динаміка обсягу капіталовкладень (млн. грн.) у районі за 2000-2009рр. може бути описана на рівні тренда:
= 60 + 2t .
Екстраполюючи виявлену тенденцію, визначити обсяг капіталовкладень у 2012 р.; у 2016 р.
Завдання 9.9
Динаміка виробництва пряжі на одного робітника за годину (кг) за період 2000 – 2009 рр. може бути описана рівнянням тренда:
= 130 + 8t .
Використовуючи параметри цього рівняння, визначити рівень виробництва пряжі на одного робітника у 2014 р., та у 2017 р.
Завдання 9.10
Динаміка фондозабезпечення господарств області (вартості основних фондів на 1 підприємство, тис. грн.) за 2000 – 2009рр. описується рівнянням тренда:
= 110,5 + 8,95t.
Передбачаючи, що ця тенденція фондозабезпечення найближчими роками збережеться, визначити фондозабезпечення господарств у 2014 р., у 2015 р.
Завдання 9.11
Ряд динаміки, що характеризує зміну видобутку вугілля (млн.т) у регіоні за 2002 – 2009 рр., можна аналітично надати рівнянням:
= 63,8 + 5,2t.
Передбачаючи, що виявлена тенденція збережеться найближчими роками, визначити очікуваний видобуток вугілля у 2014 р., у 2016 р.
Завдання 9.12
Наявні дані про розподіл цивільних шлюбів населення міста за місяцями протягом трьох років.
Місяць |
Рік |
||
1-й |
2-й |
3-й |
|
Січень |
173 |
183 |
178 |
Лютий |
184 |
185 |
179 |
Березень |
167 |
162 |
161 |
Квітень |
142 |
160 |
184 |
Травень |
137 |
143 |
151 |
Червень |
145 |
150 |
156 |
Липень |
153 |
167 |
177 |
Серпень |
171 |
173 |
181 |
Вересень |
143 |
150 |
157 |
Жовтень |
162 |
165 |
174 |
Листопад |
178 |
181 |
193 |
Грудень |
185 |
189 |
197 |
Для визначення внутрішньорічної динаміки цивільних шлюбів визначити:
середньомісячні величини укладених шлюбів за кожен рік і обчисливши базисні темпи зростання середніх рівнів, встановити загальні тенденції розвитку шлюбів за три роки;
індекси сезонності методом постійної середньої за триріччя;
побудувати лінійний графік сезонної хвилі розвитку укладання цивільних шлюбів за роки, що вивчаються, за місяцями.
Зробити короткі висновки.
Завдання 9.13
Реалізація картоплі характеризується такими даними на ринках міста за три роки (у тис. грн.).
Місяць |
Рік |
||
1-й |
2-й |
3-й |
|
Січень |
136 |
138 |
142 |
Лютий |
130 |
136 |
138 |
Березень |
132 |
137 |
140 |
Квітень |
130 |
134 |
139 |
Травень |
125 |
132 |
137 |
Червень |
124 |
128 |
134 |
Липень |
128 |
130 |
136 |
Серпень |
134 |
136 |
143 |
Вересень |
142 |
144 |
150 |
Жовтень |
148 |
150 |
154 |
Листопад |
146 |
148 |
153 |
Грудень |
135 |
140 |
150 |
Всього за рік |
|
|
|
Визначити індекси сезонності методом постійної середньої за місяць, за триріччя.
Укрупнити інтервали за допомогою 3-х місячної суми за будь-яким із запропонованих років.
Охарактеризувати інтервали 3-місячною середньою.
Вирівняти цей самий динамічний ряд за допомогою 3-місячної плинної середньої/
Виконати аналітичне вирівнювання за прямою (за будь-який рік) та екстраполювати на перспективу в 2 - 3 роки реалізацію картоплі в місті.
Дані емпіричних і теоретичних величин зобразити на графіку (різним кольором).
Завдання 9.14
Є дані про реалізацію цукру-піску в продовольчих магазинах групи міст (у тоннах).
Місяць |
Рік |
||
1-й |
2-й |
3-й |
|
1 |
2 |
3 |
4 |
Січень |
409 |
429 |
450 |
Лютий |
405 |
423 |
447 |
1 |
2 |
3 |
4 |
Березень |
407 |
431 |
454 |
Квітень |
132 |
453 |
474 |
Травень |
413 |
440 |
454 |
Червень |
420 |
417 |
459 |
Липень |
435 |
464 |
499 |
Серпень |
422 |
446 |
464 |
Вересень |
408 |
438 |
450 |
Жовтень |
424 |
452 |
459 |
Листопад |
418 |
443 |
455 |
Грудень |
436 |
450 |
458 |
Для аналізу внутрішньорічної динаміки:
визначити індекси сезонності методом постійної середньої;
зобразити у вигляді лінійного графіка сезонну хвилю розвитку явища, що вивчається; помісячно за рік.
Зробити висновки.
Завдання 9.15
Продаж м'яса і м'ясних продуктів у продовольчих магазинах групи міст за квартали впродовж 4 років характеризується такими даними (тис. т() 4 роки характеризується наступними даннымивенных магазинах групи міст по кварталамм за рік.).
Квартал |
Рік |
|||
1-й |
2-й |
3-й |
4-й |
|
Ι |
51,9 |
54,3 |
57,9 |
60,7 |
ΙΙ |
40,1 |
46,7 |
48,7 |
51,0 |
ΙΙΙ |
41,5 |
43,8 |
44,9 |
50,7 |
ΙV |
55,9 |
59,8 |
60,0 |
69,0 |
Для аналізу внутрішньорічної динаміки продажу м'яса і м'ясних продуктів:
визначити індекси сезонності із застосуванням методу аналітичного вирівнювання за прямою;
зобразити графічно сезонну хвилю продажу даних продуктів за квартали року.
Зробити висновки.
Додаткові розрахунки для вирівнювання за прямою і визначення індексів сезонності даним методом доцільно здійснити в таблиці, макет якої наводиться.
Період (квартал за 4 роки) |
Емпіричний рівень ряду ( ) |
Позначення часу (t) |
|
Значення, що вирівню-ються |
Індекс
сезонності, %
|
1-й рік Ι кв. ΙΙ кв. ΙΙΙ кв. Ιv кв. |
|
|
|
|
|
2-й рік і т.д. |
|
|
|
|
|
Сума |
|
|
|
|
____ |
Завдання 9.16
Використовуючи дані таблиці, визначити за варіантами:
абсолютний приріст, темп зростання, темпи приросту (ланцюгові та базисні), абсолютне значення 1 % приросту. Результати подати в таблицю, зробити висновки;
середньорічний рівень виробництва продукції за весь період;
середньорічний абсолютний приріст за 2005-2006 рр.; 2007-2010 рр.; 2004-2007рр;
середньорічні темпи зростання і приросту за 2007-2008рр.; 2006-2010 рр;
Зробити порівняльний аналіз розрахункових показників двох підприємств.
Здійснити аналітичне вирівнювання ряду динаміки та дати прогноз на 2012 р., 2015 р.