- •3.1 Механическая система. Силы внешние и внутренние.
- •3.2 Свойства внутренних сил.
- •3.3 Дифференциальные уравнения движения механической системы.
- •4.1.2. Теорема о движении центра масс механической системы.
- •4.1.3. Законы сохранения движения центра масс
- •4.2 Количество движения точки и системы.
- •4.2.1. Количество движения точки и системы.
- •4.2.2. Теорема об изменении количества движения механической системы
- •4.2.3. Законы сохранения количества движения
- •4.2.4. Теорема об изменении количества движения механической системы
- •4.3. Теорема об изменении кинетического момента.
- •4.3.1. Кинетический момент точки и системы.
- •4.3.2. Теоремы об изменении кинетического момента механической системы.
- •4.3.3. Законы сохранения кинетического момента
- •4.3.4. Кинетический момент твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, относительно оси вращения.
- •4.3.5. Дифференциальное уравнение вращения твердого тела вокруг неподвижной оси.
- •4.3.6. Моменты инерции. Моменты инерции простых однородных тел.
- •4.3.7. Физический маятник.
- •4.3.8. Теорема об изменении кинетического момента в относительном движении.
- •4.3.9. Дифференциальные уравнения плоскопараллельного движения твердого тела.
- •4.4. Теорема об изменении кинетической энергии.
- •4.4.1. Работа постоянной силы.
- •4.4.2. Элементарная работа силы.
- •4.4.3. Работа силы на конечном перемещении.
- •2. Поступательное движение твердого тела.
- •3. Работа силы, приложенной к твердому телу, вращающемуся вокруг неподвижной оси.
- •4.4.7. Кинетическая энергия материальной точки и механической системы.
- •4.4.8. Вычисление кинетической энергии механической системы (теорема Кёнига).
- •4.4.9. Кинетическая энергия твердого тела.
- •4.4.10. Теорема об изменении кинетической энергии материальной точки.
- •11. Теорема об изменении кинетической энергии механической системы.
4.1.3. Законы сохранения движения центра масс
(следствия из теоремы).
Из теоремы о движении центра масс можно получить следующие следствия.
Следствие 1.Если главный вектор внешних сил, действующих на систему, равен нулю, то её центр масс находится в покое или движется прямолинейно и равномерно.
Действительно, если главный вектор внешних сил , то из уравнения (4.2):
, .
Следствие 2. Если проекция главного вектора внешних сил на какую-либо неподвижную ось равна нулю, то проекция скорости центра масс механической системы на эту ось не изменяется.
4.2 Количество движения точки и системы.
Теорема об изменении количества движения.
4.2.1. Количество движения точки и системы.
Определение. Количеством движения материальной точки называется вектор, равный произведению массы точки на её скорость , то есть
.
Определение. Количеством движения механической системы называется вектор , равный векторной сумме количеств движений (главный вектор количеств движений) отдельных точек, входящих в систему, то есть
Проекции количества движения на прямоугольные декартовые оси координат:
; ; (4.7)
Вектор количества движения системы в отличие от вектора количества движения точки не имеет точки приложения. Вектор количества движения точки приложен в самой движущейся точке, а вектор является свободным вектором.
Лемма количеств движения. Количество движения механической системы равно массе всей системы, умноженной на скорость её центра масс, то есть
4.2.2. Теорема об изменении количества движения механической системы
в дифференциальной форме.
Теорема. Производная по времени от количества движения механической системы равна геометрической сумме (главному вектору) внешних сил, действующих на эту систему, т.е.
.
В проекциях на прямоугольные декартовые оси координат:
; ; , (4.10)
то есть производная по времени от проекции количества движения механической системы на какую либо координатную ось равна сумме проекций (проекции главного вектора) всех внешних сил системы на ту же ось.
4.2.3. Законы сохранения количества движения
(следствия из теоремы)
Следствие 1. Если главный вектор всех внешних сил механической системы равен нулю, то количество движения системы постоянно по величине и направлению.
Следствие 2. Если проекция главного вектора всех внешних сил механической системы на некоторую неподвижную ось равна нулю, то проекция количества движения системы на эту ось остается постоянной.
4.2.4. Теорема об изменении количества движения механической системы
в интегральной форме.
Элементарным импульсом силы называется векторная величина , равная произведению вектора силы на элементарный промежуток времени
. (4.11)
Направление элементарного импульса совпадает с направлением вектора силы.
Импульс силы за конечный промежуток времени равен определенному интегралу от элементарного импульса
.
Если сила постоянна по величине и направлению ( ), то ее импульс за время равен:
.
Проекции импульса силы на оси координат:
, , . (4.13)
Докажем теорему об изменении количества движения механической системы в интегральной форме.
Теорема. Изменение количества движения механической системы за некоторый промежуток времени равно геометрической сумме импульсов внешних сил системы за этот же промежуток времени, т.е.