4.3. Теорема об изменении кинетического момента.

4.3.1. Кинетический момент точки и системы.

Определение. Кинетическим моментом материальной точки относительно полюса называется момент её вектора количества движения относительно того же полюса , т. е.

.

Кинетический момент относительно полюса может быть представлен в виде векторного произведения: кинетический момент материальной точки относительно полюса равен векторному произведению радиус вектора , проведенного из полюса в точку на вектор количества движения :

Определение. Кинетическим моментом материальной точки относительно оси называется момент её вектора количества движения относительно той же оси , т. е.

.

Определение. Кинетическим моментом или главным моментом количества движения механической системы относительно полюса называется вектор, равный геометрической сумме кинетических моментов всех материальных точек системы относительно этого полюса:

. (4.19)

Определение. Кинетическим моментом или главным моментом количества движения механической системы относительно оси называется алгебраическая сумма кинетических моментов всех материальных точек системы относительно этой оси:

.

Кинетические моменты механической системы относительно полюса и оси, проходящей через этот полюс, связаны такой же зависимостью, как и главные моменты системы сил относительно полюса и оси:

—проекция кинетического момента механической системы относительно полюса на ось , проходящую через этот полюс, равна кинетическому моменту системы относительно этой оси, т. е.

.

4.3.2. Теоремы об изменении кинетического момента механической системы.

Теорема. Производная по времени от кинетического момента механической системы относительно неподвижного полюса равна главному моменту внешних сил системы относительно того же полюса, т. е.

.

Докажем теорему об изменении кинетического момента механической системы относительно оси.

Теорема. Производная по времени от кинетического момента механической системы относительно неподвижной оси равна главному моменту внешних сил системы относительно той же оси, т. е.

.

4.3.3. Законы сохранения кинетического момента

(следствия из теоремы)

Следствие 1. Если главный момент внешних сил системы относительно неподвижного полюса равен нулю, то кинетический момент этой системы относительно того же полюса будет постоянным как по величине, так и по направлению.

Действительно, на основании (4.22) имеем: . Если , то .

Следствие 2. Если главный момент внешних сил системы относительно неподвижной оси равен нулю, то кинетический момент этой системы относительно той же оси будет постоянным.

Если , тогда по формуле (4.27): и .

4.3.4. Кинетический момент твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, относительно оси вращения.

Определение. Моментом инерции твердого тела

(механической системы) относительно оси называется сумма произведений масс всех точек тела (системы) на квадрат их расстояний от этой оси, т. е.

Размерность момента инерции в системе СИ—кг·м². Часто при вычислениях применяют понятие радиуса инерции. Радиусом инерции тела относительно оси называется величина , определяемая равенством

, (4.34)

где —масса тела.

Возвращаясь к формуле (4.32), получаем

, (4.35)

т. е. кинетический момент твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, относительно оси вращения равен произведению момента инерции тела относительно оси вращения на алгебраическую угловую скорость этого тела.