4.3.9. Дифференциальные уравнения плоскопараллельного движения твердого тела.

,

,

.

Уравнения движения точки найдем по теореме о движении центра масс

.

Проектируя обе части этого равенства на неподвижные оси координат , получим два дифференциальных уравнений движения плоской фигуры

,

,

где —масса тела;

и —проекции главного вектора внешних сил, приложенных к телу, на оси и

Таким образом, дифференциальные уравнения плоскопараллельного движения твердого тела имеют следующий вид

,

,

.

4.4. Теорема об изменении кинетической энергии.

4.4.1. Работа постоянной силы.

В рассматриваемом случае работой силы называется произведение модуля силы на перемещение её точки приложения и на косинус угла между направлением вектора силы и направлением перемещения точки приложения силы, т. е.

.

Если угол острый, то работа силы , а если тупой, то .

Если направления вектора силы и перемещения её точки приложения совпадают, т. е. , то .

Если направление вектора силы перпендикулярно перемещению её точки приложения, т. е. , то .

Если направление вектора силы противоположно направлению перемещения её точки приложения, то

4.4.2. Элементарная работа силы.

Определение. Элементарной работой силы называется произведение модуля силы на элементарное перемещение её точки приложения и на косинус угла между вектором силы и вектором элементарного перемещения , т. е.

.

. (4.59)

Элементарная работа силы равна скалярному произведению вектора силы на вектор элементарного перемещения силы .

формулу для элементарной работы в проекциях на оси координат

. (4.61)

Элементарная работа силы равна сумме произведения проекций этой силы на оси координат на дифференциалы соответствующих координат точки приложения силы.

4.4.3. Работа силы на конечном перемещении.

, (4.63)

или

Если учесть формулу (4.60) для элементарной работы, то от криволинейного интеграла в выражении для работы силы на конечном перемещении можно перейти к определенному интегралу

, (4.65)

где и —моменты времени, в которые точка проходит положения и .

Теорема (о работе равнодействующей). Работа равнодействующей системы сил на каком либо перемещении равна алгебраической сумме работ составляющих сил на том же перемещении.

.

Элементарная работа этой равнодействующей

.

Получили, что элементарная работа равнодействующей равна алгебраической сумме элементарных работ составляющих сил.

Теорема(о работе силы на последовательных перемещениях).Работа силы на конечном перемещении равна сумме работ этой же силы на последовательных составляющих перемещениях, на которые любым образом разбито исходное конечное перемещение.

Мощностью силы называется отношение элементарной работы к элементарному промежутку времени, за который она совершена

. (4.66)

Если учесть, что , то

4.4.4. Работа силы тяжести.

, (4.68)

где — падение высоты.

Работа силы тяжести равна произведению силы тяжести на падение высоты ее точки приложения.

Работа силы тяжести не зависит от формы траектории ее точки приложения, а зависит только от начального и конечного положений этой точки приложения.

4.4.5. Работа силы упругости.

—коэффициент жесткости пружины.

.

4.4.6. Работа сил, приложенных к твердому телу.

1. Работа внутренних сил.

Твердое тело—это механическая система, расстояния между точками которой, остаются постоянными

.

Получили, что сумма мощностей сил и равна нулю, а, следовательно, и сумма работ сил и равна нулю. Твердое тело можно считать состоящим из пар взаимодействующих точек, для каждой из которых сумма работ внутренних сил равна нулю. Суммируя работы для всех пар точек, получаем, что работа внутренних сил абсолютно твердого тела равна нулю.