- •Линейные одномерные системы автоматического управления
- •Линейные одномерные системы автоматического управления
- •Теория автоматического управления
- •Введение
- •Глава 1. Уравнения, элементарные блоки, структурные схемы и переходные процессы в сау
- •. Уравнения сау
- •1.2. Передаточные функции
- •1.3. Переходная и импульсная переходная функции. Показатели качества переходного процесса
- •1.4. Элементарные звенья
- •1.5. Структурные схемы сау и правила их преобразования
- •Глава 2. Обоснование метода передаточных функций для исследования сау
- •2.1. Преобразование Лапласа
- •2.2. Основные теоремы операционного исчисления
- •2.3. Реакция сау на произвольное входное воздействие. Интеграл Дюамеля
- •Глава 3. Частотные характеристики сау
- •3.1. Амплитудно-фазовые частотные характеристики
- •Логарифмические частотные характеристики
- •3.3. Частотные характеристики элементарных звеньев
- •Глава 4. Устойчивость сау
- •Алгебраический критерий устойчивости Гурвица.
- •4.2. Частотный критерий устойчивости Михайлова.
- •4.3. Частотный критерий устойчивости Найквиста
- •4.3.1. Критерий асимптотической устойчивости замкнутой системы, содержащей лишь устойчивые звенья
- •4.3.2. Применение критерия Найквиста к системам с нейтральными звеньями
- •4.3.3 Применение критерия Найквиста к системам с неустойчивыми звеньями
- •4.4 Метод d – разбиения
- •4.4.1 Линейная зависимость коэффициентов характеристического уравнения от одного параметра
- •4.4.2 Линейная зависимость коэффициентов характеристического уравнения от двух параметров
- •Приложение 1. Задачи
- •1. Динамические и частотные характеристики сау
- •Литература
4.4 Метод d – разбиения
Рассмотрим САУ, у которой коэффициенты характеристического полинома зависят от некоторого набора параметров { }
.
Каждой точке пространства параметров { } соответствует набор коэффициентов и какие-то корни характеристического уравнения
.
Пусть корней уравнения находятся в правой полуплоскости, тогда корней этого уравнения – в левой полуплоскости. Совокупность точек в пространстве { } таких, что корней уравнения находятся в правой полуплоскости а( ) корней – в левой, обозначим через , заметим, что область представляет собой область устойчивости САУ в пространстве параметров { }
При движении точки в пространстве { } внутри какой либо области не изменяется количество корней в левой и правой полуплоскостях. Как только один из корней характеристического уравнения попадает на мнимую ось (т.е. ), соответствующая точка в пространстве параметров { } выходит на границу области D – разбиения
Приравнивая к нулю отдельно действительную и мнимую части уравнения , получим границу области D – разбиения в параметрическом виде.
4.4.1 Линейная зависимость коэффициентов характеристического уравнения от одного параметра
Предположим, что коэффициенты характеристического уравнения Линейным образом зависят от параметра :
;
В этом случае граница области D-разбиения принимает вид
,
откуда находим
.
Заметим, что функция комплексная, хотя исходный параметр был вещественным. Поэтому, после построения области устойчивости на комплексной плоскости ( ) выделяют только вещественные значения параметра .
Кривая на комплексной плоскости ( ) представляет собой образ мнимой оси , на плоскости . Если заштриховать мнимую ось слева, то при изменении от до кривая также будет заштрихована слева. При этом, если параметр , пересекая границу области D – разбиения, переходит из заштрихованной стороны в не заштрихованную, то соответственно корень характеристического уравнения переходит из левой полуплоскости в правую.
Таким образом, построив границу D – разбиения в соответствии с и нанеся штриховку, определяют область – претендент на область устойчивости. Затем внутри такой области выбирают любую точку и проверяют устойчивость САУ, например, с помощью критерия Гурвица. После этого делают окончательный вывод о расположении области устойчивости в пространстве параметров.
4.4.2 Линейная зависимость коэффициентов характеристического уравнения от двух параметров
Предположим что коэффициенты характеристического уравнения зависят от двух параметров :
В этом случае граница области D –разбиения принимает вид
;
Откуда разделяя вещественную и мнимую части, находим:
Введем следующие обозначения
И перепишем решение двух линейных уравнений в виде
Уравнения задают границу области D – разбиения в параметрическом виде.
Отметим, что имеют смысл при . Если и система несовместна, то такие следует исключить из рассмотрения. Если и система совместна, то вместо двух уравнений имеем одно уравнение прямой в плоскости ( ).
.
Прямая называется особой прямой и соответствует корню уравнения . Особые прямые также наносятся на D-разбиение.
Если коэффициент при старшей степени характеристического уравнения зависит от параметров , то на D-разбиение наносится прямая
,
которая также называется особой прямой. Поясним сказанное следующим простым примером: корень характеристического уравнения равен и при изменении знака вблизи нуля этот корень скачком переходит из в или наоборот.
Правила штриховки кривых D-разбиения и особых прямых. Перечисленные ниже правила штриховки считаются наиболее трудно формализуемым местом в алгоритме построения области устойчивости методом D-разбиения. В каждом конкретном случае необходимо тщательно исследовать полученные на плоскости параметров ( ) области выбирая в них несколько разных точек, определяя с помощью пакета “MatLab” корни характеристического уравнения
Кривая D-разбиения при изменении от до заштриховывается слева, если и справа – если ; при этом одна сторона D-разбиения может быть заштрихована дважды.
Особая прямая подвергается штриховке, если при переходе через меняется знак , т.е. .
При этом, если штриховка однократная; если , то штриховка двойная. Если при переходе через знак не меняется, то особая прямая не заштриховывается.
Особая прямая подвергается однократной штриховке.
Штриховка особых прямых должна быть согласована со штриховкой кривых D-разбиения так, чтобы внутренние стороны углов в точках стыка оказались заштрихованными (Рис. 4.8).
|
Рис 4.8 Правила штриховки кривых D-разбиения |