- •Линейные одномерные системы автоматического управления
- •Линейные одномерные системы автоматического управления
- •Теория автоматического управления
- •Введение
- •Глава 1. Уравнения, элементарные блоки, структурные схемы и переходные процессы в сау
- •. Уравнения сау
- •1.2. Передаточные функции
- •1.3. Переходная и импульсная переходная функции. Показатели качества переходного процесса
- •1.4. Элементарные звенья
- •1.5. Структурные схемы сау и правила их преобразования
- •Глава 2. Обоснование метода передаточных функций для исследования сау
- •2.1. Преобразование Лапласа
- •2.2. Основные теоремы операционного исчисления
- •2.3. Реакция сау на произвольное входное воздействие. Интеграл Дюамеля
- •Глава 3. Частотные характеристики сау
- •3.1. Амплитудно-фазовые частотные характеристики
- •Логарифмические частотные характеристики
- •3.3. Частотные характеристики элементарных звеньев
- •Глава 4. Устойчивость сау
- •Алгебраический критерий устойчивости Гурвица.
- •4.2. Частотный критерий устойчивости Михайлова.
- •4.3. Частотный критерий устойчивости Найквиста
- •4.3.1. Критерий асимптотической устойчивости замкнутой системы, содержащей лишь устойчивые звенья
- •4.3.2. Применение критерия Найквиста к системам с нейтральными звеньями
- •4.3.3 Применение критерия Найквиста к системам с неустойчивыми звеньями
- •4.4 Метод d – разбиения
- •4.4.1 Линейная зависимость коэффициентов характеристического уравнения от одного параметра
- •4.4.2 Линейная зависимость коэффициентов характеристического уравнения от двух параметров
- •Приложение 1. Задачи
- •1. Динамические и частотные характеристики сау
- •Литература
2.3. Реакция сау на произвольное входное воздействие. Интеграл Дюамеля
Рассмотрим САУ, которая описывается дифференциальными уравнением с постоянными коэффициентами (1.5). На вход поступает произвольная функция времени , необходимо определить в виде функции . Введем единичный импульс 1i(t) и дельта-функции (рис 2.1); заметим, что
.
|
Рис. 2.1. Единичные импульсы и дельта-функции |
Произвольную функцию аппроксимируем ступенчатой функцией . Аналитическое представление ступенчатой функции для (рис 2.2) имеет вид
.
Согласно разделу 1.3, реакция САУ на дельта-функцию является импульсной переходной функцией . Поэтому ввиду линейности уравнения (1.5), реакция САУ на входной сигнал запишется как:
|
Рис 2.2. Аппроксимация функции u(t)
|
Переходя в соотношении к пределу при , находим
.
Интеграл в называется интегралом Дюамеля и представляет собой свертку функций . Таким образом, реакция САУ (1.5) на произвольное входное воздействие u(t) записывается с помощью интеграла Дюамеля при известной импульсной переходной функции
Приведем еще одно полезное свойство дельта-функции [8] :
.
Заметим, что свойство (1.9) является частным случаем при
Положим в формуле равным или ; с учетом и того, что , находим
, при ;
при .
Таким образом, полученные в результаты совпадают с определениями переходной и импульсной переходной функций САУ из разд. 1.3.
Глава 3. Частотные характеристики сау
Свойства САУ можно определить, изучая ее реакцию на различные типы внешних воздействий. В разделе 1.3 были определены реакции САУ на единичное воздействие 1(t) и дельта-функцию , а в разделе 1.4 исследованы реакции элементарных звеньев на эти возмущения.
Существует еще один важный класс внешних воздействий – вибрации (гармонические возмущения) произвольной частоты . Продолжим изучение САУ, которые описываются линейными дифференциальными уравнениями с постоянными вещественными коэффициентами . Определим реакцию САУ на внешнее гармоническое возмущение или . Поскольку , , а уравнение линейно то реакции САУ удобно изучать на внешнее воздействие вида . При этом для получения реакции САУ на , достаточно взять действительную Re или мнимую Im части от полученного решения.
3.1. Амплитудно-фазовые частотные характеристики
Пусть САУ описывается линейным дифференциальным уравнением с постоянными вещественными коэффициентами
Которому соответствует передаточная функция
.
Будем искать решение уравнения при u(t) = e i t в виде x(t) = ceit , где комплексная константа c подлежит определению. В результате подстановки u(t) = ei t , x(t)= c ei t в найдем, что с = f(i). Таким образом, при прохождении комплексного сигнала ei t через САУ с передаточной функцией f(p) на выходе получим также комплексный сигнал f(i) ei t. Поэтому реакцию САУ на внешнее гармоническое возмущение можно представить схемой на рис. 3.1 вверху. Комплексная функция называется амплитудно-фазовой частотной характеристикой (АФЧХ) САУ.
Любое комплексное число z представляется как
z = zR + i zI = ei ; mod z |z| = ; arg z = arctg(zI /zR) .
Поэтому АФЧХ f(i) можно записать в форме f(i) = () ei() ,после чего реакция САУ на гармоническое возмущение примет вид x(t) = () ei[ t + ()].
и может быть представлена схемой на рис. 3.1.
|
Рис. 3.1. Реакция САУ на вибрацию |
Функция () от частоты называется амплитудной частотной характеристикой (АЧХ) и характеризует отношение амплитуды выходного сигнала к амплитуде входного (при () < 1 сигнал ослабляется, () > 1 сигнал усиливается). Функция () от частоты называется фазовой частотной характеристикой (ФЧХ) и определяет сдвиг фаз у выходного и входного сигналов (при () < 0 запаздывание сигнала, () > 0 опережение сигнала).
Замечание. Если i корень характеристического уравнения a() = 0, то a(i) = 0 и () = , т.е. амплитуда выходного сигнала возрастает неограниченно и имеет место внешний резонанс.