- •Линейные одномерные системы автоматического управления
- •Линейные одномерные системы автоматического управления
- •Теория автоматического управления
- •Введение
- •Глава 1. Уравнения, элементарные блоки, структурные схемы и переходные процессы в сау
- •. Уравнения сау
- •1.2. Передаточные функции
- •1.3. Переходная и импульсная переходная функции. Показатели качества переходного процесса
- •1.4. Элементарные звенья
- •1.5. Структурные схемы сау и правила их преобразования
- •Глава 2. Обоснование метода передаточных функций для исследования сау
- •2.1. Преобразование Лапласа
- •2.2. Основные теоремы операционного исчисления
- •2.3. Реакция сау на произвольное входное воздействие. Интеграл Дюамеля
- •Глава 3. Частотные характеристики сау
- •3.1. Амплитудно-фазовые частотные характеристики
- •Логарифмические частотные характеристики
- •3.3. Частотные характеристики элементарных звеньев
- •Глава 4. Устойчивость сау
- •Алгебраический критерий устойчивости Гурвица.
- •4.2. Частотный критерий устойчивости Михайлова.
- •4.3. Частотный критерий устойчивости Найквиста
- •4.3.1. Критерий асимптотической устойчивости замкнутой системы, содержащей лишь устойчивые звенья
- •4.3.2. Применение критерия Найквиста к системам с нейтральными звеньями
- •4.3.3 Применение критерия Найквиста к системам с неустойчивыми звеньями
- •4.4 Метод d – разбиения
- •4.4.1 Линейная зависимость коэффициентов характеристического уравнения от одного параметра
- •4.4.2 Линейная зависимость коэффициентов характеристического уравнения от двух параметров
- •Приложение 1. Задачи
- •1. Динамические и частотные характеристики сау
- •Литература
1.4. Элементарные звенья
Напомним, что блок (звено) САУ можно охарактеризовать с помощью его передаточной функции f(p) (см. рис 1.3). В дальнейшем будут использоваться звенья САУ, которые носят названия элементарных. Приведем передаточные функции элементарных звеньев:
Усилительное ;
Интегрирующее ;
Апериодическое ;
Колебательное , ,
Дифференцирующее ;
Форсирующее первого порядка ;
Форсирующее второго порядка
, ;
Покажем, что любую дробно-рациональную функцию можно представить в виде произведения передаточных функций элементарных звеньев. Действительно, по теореме Гаусса (основная теорема алгебры) числитель b(p) и знаменатель a(p) разложим на произведение сомножителей вида ( ), где pi - корни полиномов b(p), a(p). Если , то имеем либо интегрирующее звено (знаменатель) либо дифференцирующее звено (числитель); если действительное, то имеем либо апериодическое звено, либо форсирующее звено первого порядка. Пусть - комплексное; т.к. полиномы b(p),a(p) имеют действительные коэффициенты, то вместе с сомножителем входит сомножитель ( ), где - комплексно сопряженное к число. В этом случае получаем
,
поэтому имеем либо колебательное звено (знаменатель), либо форсирующее звено второго порядка (числитель).
Найдем переходные функции для некоторых из элементарных звеньев. Напомним, что при ; поэтому переходные функции достаточно строить при t>0.
1) Усилительное звено: .
2) Интегрирующее звено: .
3) Переходная функция апериодического звена находится из дифференциального уравнения
,
имеющее решение
.
|
Рис. 1.6. Приближенное представление дельта функции
|
.
Поэтому длина отрезка (см. рис. 1.6)
.
Величина T называется постоянной времени устойчивого апериодического звена и, как следует из рис.1.6, представляет собой характерное время, в течение которого переходная функция выходит на стационарный режим .
Согласно определениям раздела 1.3, посчитаем время переходного процесса
,
т.е. при выполнено .
Отметим, что переходная функция апериодического звена непрерывна, а ее производная в нуле терпит разрыв.
4) Построим переходную функцию устойчивого колебательного звена (1.13); для неустойчивого звена следует заменить на . Переходная функция определяется из дифференциального уравнения
; ; ,
которое имеет следующее решение:
; ; .
Заметим что условие эквивалентно наличию комплексных корней характеристического уравнения для .
Переходная функция устойчивого колебательного звена представлена на рис. 1.7, а соответствующие показатели качества переходного процесса таковы:
при ; при
Отметим что оценка времени переходного процесса огрублена т.е. существует такое, что при выполнено .
Переходная функция колебательного звена и ее производная непрерывны на всей числовой оси.
Упражнение 1. Получить формулы .
5) Дифференцирующее звено: , т.к. .
5’) В природе не существует объектов, которые можно описать идеальным дифференцирующим звеном . Реальные объекты инерционны и обладают запаздыванием. Рассмотрим реальные дифференцирующее звено с передаточной функцией переходная функция находится из уравнения
,
из которого следует, что переходная функция реального дифференцирующего звена равна импульсной переходной функции апериодического звена.
Для решения дифференциального уравнения проинтегрируем его левую и правую части в пределах от до t и введем новую переменную
.
С учетом свойства дельта-функции, получим уравнение для переменной
,
которое имеет решение . С учетом находим
Переходная функция реального дифференцирующего звена имеет в точке t=0 разрыв 1 рода.
Упражнение 2. Посчитать импульсные переходные функции интегрирующего и колебательного звеньев.