1. Динамические и частотные характеристики сау

Постановка задачи

В качестве объекта исследования выступают линейные (линеаризованные) динамические стационарные системы управления с одним входом и одним выходом. При этом модель одномерной САУ задана в виде комплексной передаточной функции, записанной как отношение полиномов

.

Необходимо:

1. Определить полюса и нули передаточной функции

2. Записать дифференциальное уравнение, определяющее функционирование САУ.

3. Построить графики переходной и импульсно-переходной функции:

4. Построить логарифмические частотные характеристики:

5. Построить частотный годограф Найквиста:

6. Представить исходную систему в виде последовательного соединения типовых звеньев. Построить характеристики этих типовых звеньев

Для решения задачи используется пакет прикладных программ (ППП) Control System Toolbox. ППП предназначен для работы с LTI-моделями (Linear Time Invariant Models) систем управления.

В Control System Toolbox имеется тип данных, определяющих динамическую систему в виде комплексной передаточной функции. Синтаксис команды, создающий LTI-систему c одним входом и одним выходом в виде передаточной функции:

tf([b_m, …, b₁, b₀], [a_n, …, a₁, a₀])

b_m, …, b₀ – значения коэффициентов полинома

a_n, …, a₀ – значения коэффициентов полинома

Применяем команды ППП

Синтаксис	Описание
pole(<LTI-объект>)	Вычисление полюсов передаточной функции
zero(<LTI-объект>)	Вычисление нулей передаточной функции
step(<LTI-объект>)	Построение графика переходного процесса
Impulse(<LTI-объект>)	Построение графика импульсной переходной функции
bode(<LTI-объект>)	Построение логарифмических частотных характеристик (диаграммы Боде)
Nyquist(<LTI-объект>)	Построение частотного годографа Найквиста

Для определения корней полиномов степени k, может, также, применятся команда roots(P), которая, в качестве аргумента P, получает матрицу коэффициентов полинома [p_k, …, p₀].

Другим вариантом получения графиков динамических характеристик САУ является использование графического интерфейса ППП CST – LTI-viewer, вызов которого осуществляется командой ltiview , которой, в качестве параметра, можно указать имя переменной, содержащей LTI-объект.

Пример:

Задана передаточная функция САУ:

Найдем ее динамические и частотные характеристики. Будем работать в командном режиме среды MATLAB.

1. Создадим LTI-объект с именем w, для этого выполним:

2. Найдем полюса и нули передаточной функции с использованием команд pole, zero.

3. Построим переходную функцию командой step(w). Результат ее выполнения приведен на рис. 1.3.

4. Построим импульсную переходную функцию командой impulse(w). Результат показан на рис. 1.4.

5. Диаграмму Боде получим, используя команду bode(w) – рис. 1.5.

6. Определим частотный годограф Найквиста, выполнив команду nyquist(w) – рис. 1.6.

Приложение Б

Справочник по системе MATLAB

Общие сведения. Система инженерных и научных расчетов MATLAB (мат­ричная лаборатория) является разработкой американской фирмы MathWorks (http://www.mathworks.com). Первая версия появилась в 1984 году. Информация на рус­ском языке по системе MATLAB представлена на сайте http://www.matlab.ru.

Вычисления в системе MATLAB выполняются в режиме интерпретатора в ко­мандной строке. Можно использовать данные, функции и программы, записанные в m-файлах (<имя файла>.m). Для запуска программы достаточно в командной стро­ке набрать имя m-файла. MATLAB содержит библиотеки m-файлов по вычислитель­ной математике, методам оптимизаций, теории управления, обработке сигналов и др. Личные m-файлы создаются любым текстовым редактором, в том числе редакто­ром/отладчиком m-файлов системы MATLAB.

Переменные. Все переменные являются матрицами (массивами), в том числе и ска­лярные переменные. При записи имен переменных прописные и строчные буквы могут различаются. Тип переменных не описывается.

Система работает с действительными и комплексными числами. Комплексные числа записываются в виде: a + i*b или a+j*b. Форма записи чисел устанавливается командой format.

Каждая переменная рассматривается как матрица. Элементы матриц перечисля­ются построчно и заключаются в квадратные скобки. Например, А=[123] В=[123;456]. Обращение к элементам матриц записывается следующим образом: A(i), B(i,j). Элементы матриц могут быть выражениями и матрицами. Значения строковых пе­ременных записываются в виде 'текст'.

Операции с матрицами. Матрицы специального вида:

zeros(n,m) - нулевая матрица;

ones(n,m) - матрица с единичными элементами;

eye(n,m) - матрица с единичными диагональными элементами;

rand(n,m) - матрица со случайными элементами.

Операции и функции линейной алгебры:

+ — * - сложение, вычитание, умножение;

' ^{^} - транспонирование, возведение в степень;

/ \ - умножение на обратную матрицу справа и слева;

inv(A) - обратная матрица;

eig(А) - собственные числа матрицы;

det(A) - определитель матрицы;

rank(A) - ранг матрицы;

polу(А) - характеристический многочлен матрицы;

trace (A) - след матрицы;

kron(A,B) - кронекерово произведение матриц;

norm - различные нормы матриц и векторов;

size (A) - размеры матрицы.

Точка перед операцией означает поэлементное выполнение операции. Например,

A.*B - поэлементное умножение матриц. Функции от матриц:

expm(A) - матричная экспонента;

logm(А) - матричный логарифм;

sqrtm(A) - матричный квадратный корень.

Пример решения системы линейных алгебраических уравнений: Ax = b

х = inv(А) *b или х = А\b Операции с блоками матриц:

А = [ ] - объявить матрицу;

А= [ В С ] - составить матрицу из двух блоков B и C или, например,

A=[A

B]

Операции с многочленами Многочлен p(x) = a₀xⁿ + a1xⁿ⁻¹ + ∙∙∙+ an задается в виде вектора. Например, вектор

a=[1234] определяет многочлен a(x) = x³ + 2x² + 3x + 4. Операции:

conv(a,b) - умножение многочленов;

deconv(a,b) - деление многочленов;

polyval(p,x) - значение многочлена р(x);

polyvalm(p,x) - значение матричного многочлена p(x);

roots(p) - корни многочлена;

роlу(r) - восстанавливает коэффициенты многочлена по его корням,

записанным в векторе r;

polyfit(x,y,n) - аппроксимация табличных значений методом наименьших

квадратов; polyder(p) - производная многочлена.

Программирование в среде MATLAB. Программы записывается в виде m-файлов. Запуск программы осуществляется указанием имени файла. Пример программы:

Графические средства. Основные графические команды:

plot - построение графика;

mesh - построение поверхности;

contour - построение линий уровня;

title - задание титульной надписи;

xlabel - задание надписи по оси x;

ylabel - задание надписи по оси y;

zlabel - задание надписи по оси z;

grid - задание сетки;

axis - управление осями графика;

text - вывод текста в заданное место на графике;

gtext - размещение текста на графике с помощью мыши;

figure - открыть графическое окно;

close - закрыть графическое окно;

subplot - разбиение графического окна.