- •Линейные одномерные системы автоматического управления
- •Линейные одномерные системы автоматического управления
- •Теория автоматического управления
- •Введение
- •Глава 1. Уравнения, элементарные блоки, структурные схемы и переходные процессы в сау
- •. Уравнения сау
- •1.2. Передаточные функции
- •1.3. Переходная и импульсная переходная функции. Показатели качества переходного процесса
- •1.4. Элементарные звенья
- •1.5. Структурные схемы сау и правила их преобразования
- •Глава 2. Обоснование метода передаточных функций для исследования сау
- •2.1. Преобразование Лапласа
- •2.2. Основные теоремы операционного исчисления
- •2.3. Реакция сау на произвольное входное воздействие. Интеграл Дюамеля
- •Глава 3. Частотные характеристики сау
- •3.1. Амплитудно-фазовые частотные характеристики
- •Логарифмические частотные характеристики
- •3.3. Частотные характеристики элементарных звеньев
- •Глава 4. Устойчивость сау
- •Алгебраический критерий устойчивости Гурвица.
- •4.2. Частотный критерий устойчивости Михайлова.
- •4.3. Частотный критерий устойчивости Найквиста
- •4.3.1. Критерий асимптотической устойчивости замкнутой системы, содержащей лишь устойчивые звенья
- •4.3.2. Применение критерия Найквиста к системам с нейтральными звеньями
- •4.3.3 Применение критерия Найквиста к системам с неустойчивыми звеньями
- •4.4 Метод d – разбиения
- •4.4.1 Линейная зависимость коэффициентов характеристического уравнения от одного параметра
- •4.4.2 Линейная зависимость коэффициентов характеристического уравнения от двух параметров
- •Приложение 1. Задачи
- •1. Динамические и частотные характеристики сау
- •Литература
4.2. Частотный критерий устойчивости Михайлова.
В этом и следующем разделах будут изложены методы исследования устойчивости САУ по их частотным характеристикам.
|
Рис. 4.1 Принцип аргумента |
Рассмотрим САУ с передаточной функцией и исследуем устойчивость ее характеристического полинома
Построим годограф комплексного вектора при изменении частоты от до . Обозначим это приращение через
Согласно основной теореме алгебры, имеем:
,где корни уравнения ; поэтому
пусть l корней уравнения расположены в правой полуплоскости, а - в левой полуплоскости. Тогда из следует, что
Формула представляет собой принцип аргумента.
Назовем характеристической кривой или кривой Михайлова годограф комплексного вектора при изменении от до . Имеем
;
.
Поэтому , т.е. кривая Михайлова симметрична относительно оси абсцисс и ее достаточно построить для . В этом случае принцип аргумента принимает вид
Формулировка критерия Михайлова. САУ с передаточной функцией устойчива тогда и только тогда, когда
где n – степень характеристического полинома .
|
Рис. 4.2 Примеры кривых Михайлова для устойчивых (слева) и неустойчивых (справа) САУ. |
Замечание. Если САУ с передаточной функцией дополнительно охвачена отрицательной обратной связью, то ее передаточная функция . Поэтому кривая Михайлова в этом случае представляет собой годограф комплексного вектора и критерий Михайлова приобретает вид
.
4.3. Частотный критерий устойчивости Найквиста
Рассмотрим САУ с отрицательной обратной связью, для которой передаточные функции разомкнутого и замкнутого контуров равны соответственно
Приведенный ниже критерий устойчивости позволяет по АФЧХ разомкнутой САУ судить о устойчивости замкнутой САУ. В этом его практическая ценность, так как зачастую легче определить частотные характеристики именно разомкнутой системы.
Рассмотрим дробно-рациональную функцию
Нули этой функции совпадают с нулями характеристического полинома замкнутой САУ, а полюсы являются нулями характеристического полинома разомкнутой САУ.
|
Рис 4.3 Нули и полюсы функции 1+f(p) |
Запишем теорему Коши [2, c.33] для подсчета нулей и полюсов дробно- рациональной функции 1+ комплексного переменного внутри области G
где .
Выполним конформное отображение [7] плоскости p на плоскость по формуле . При этом контур G перейдет в контур Г, а интеграл примет вид
Заметим что направление обхода по контуру Г не задается, а определяется направлением обхода по контуру G и отображением
|
Рис 4.4 Конформное отображение f=f(p) |
На рис. 4.4 приведен пример отображения контура G в плоскости p на контур Г в плоскости f. Контур G представляет собой полуокружность с радиусом R в правой полуплоскости, диаметром которой служит отрезок мнимой оси. Заметим, что при контур G охватывает всю правую полуплоскость, а контур стягивается в точку на оси абсцисс.
Свойства контура Г
1). Поскольку коэффициенты полиномов действительны, то действительным точкам контура G соответствуют действительные точки контура Г; например, точкам соответствуют точки на оси абсцисс. Заметим, что
.
На контуре GR имеем ( - изменяется от до ).
2). Если сопряженные точки на контуре G, то ; поэтому им соответствуют сопряженные точки на контуре Г. Следовательно симметричному относительно оси абсцисс контуру G соответствует симметричный относительно оси абсцисс контур Г.
3). 1+f представляет собой комплексное число, которое характеризуется радиусом-вектором с началом в точке (-1,0) и концом на контуре Г; при этом контур Г называется годографом вектора 1+f при изменении от до
Посчитаем интеграл в , для этого комплексное число 1+f представим в форме:
,
поэтому
В результате находим
При выводе использован тот факт, что контурный интеграл от дифференциала по замкнутому контуру Г равен нулю, так как начальное и конечное значение модуля вектора совпадают.
Обозначим через число полных оборотов по часовой стрелке вектора , когда p пробегает контур G, а вектор - контур Г. Так как при вычислении контурных интегралов положительным считается направление против часовой стрелки, то
.
Таким образом, из – находим
.
Вывод. Число нулей характеристического полинома замкнутой САУ в правой полуплоскости равно сумме числа нулей характеристического полинома разомкнутой САУ в правой полуплоскости и числа полных оборотов по часовой стрелке годографа вокруг точки (-1,0) при изменении от до .