Учёт зубцово-пазовой структуры

Реальная конструкция ЭМ всегда имеет зубцы и пазы. Там где имеются пазы там происходит ослабление МП, в результате кривая магнитного поля в зазоре не является чистой синусоидой а на эту кривую накладываются высшие пространственные гармоники с частотой чередования зубцов.

Зубцово-пазовая структура приводит к неравномерному распределению воздушного зазора. Там где зубец против зубца зазор минимален, и наоборот, там где паз против паза – максимальный. В результате этого магнитная индукция в воздушном зазоре.

Для расчета МП с учётом зубцово-пазовой структуры необходимо использовать двухмерную модель. Если использовать одномерную модель, то поступаю так: считают что воздушный зазор на всём протяжении окружности имеет постоянный зазор, а магнитная проницаемость среды, которая заполняет зазор является сложной функцией тангенсальной координаты.

Будем считать, что µ описывается выражением:

а – коэффициент, величина которого зависит от пространственной координаты φ и связана с φ таким соотношением:

Условие минимума:

Пусть а = 0 ;

Магнитная проницаемость µ=µ₀ в точке бесконечно удалённой от начала координат. Реально ф-ция логарифма изменяется очень быстро и поэтому в точках, которые удалены от начала координат на величину чуть превышающую ширину паза магнитная проницаемость отличается от µ₀ не более чем на 0,1%.

Реально поступают так: задают произвольное значение коэффициента а в пределах от 1 до U (1≤ф≤U), находят координату φ, зная коэффициент U получаем зависимость µ=f(φ).

Полученные дифференциальное уравнение выводилось исходя из условия постоянства магнитной проницаемости.

- магнитная проницаемость среды, которая заполняет воздушный зазор.

Т .о. мы получили диф уравнение с переменным коэффициентом.

Решение этого уравнения производится методом циклической прогонки. В результате находится векторный потенциал, зная который можно найти магнитную индукцию в зазоре.

Учёт потерь в стали

Если магнитопровод находится в переменном МП, то в нем возникают потери, которые обычно рассчитывают по формуле Штейнеца.

- удельные потери при базовой частоте и базовой индукции (обычно , , тогда )

α – коэффициент, зависящий от степени легирования Si. Для малокремниевых сталей α=1,5. Для высококремниевых – α=1,3.

β = 2.

Формула не отражает тех явлений, а реально:

Потери на вихревые токи возникают вследствие протекания в листах стали вихревых токов, возникающих под действием ЭДС возводимого под действием переменного магнитного потока

Потери на вихревые токи пропорциональны квадрату частоты и квадрату магнитной индукции.

Потери на гистерезис – это потери на перемагничивании ферримагнитного материала. При перемагничивании происходит переориентация доменов (всегда стремятся занять направление такое же как и внешнее МП). При повороте доменов происходит затрата энергии, которые и определяют потери на гистерезис. Потери на перемагничивание зависят от количества циклов перемагничивания за секунду (т.е. от частоты) и от квадрата магнитной индукции.

ε и σ зависят от кремния в электротехнической стали (величина от 1 до 2).

В схеме замещения потери в стали учитываются введением активного сопротивления в намагничивающий контур.

Из векторной диаграммы:

.

В этой схеме замещения сопротивление R_µ постоянно по величине:

Потери на гистерезис пропорциональны первой степени частоты, поэтому их постоянным сопротивлением изображать нельзя. Для изображения потерь на гистерезис необходимо параллельно намагничивающему контуру включить сопротивление зависящее от частоты

Т.о. потери на гистерезис изображаются активным сопротивлением величина которого обратно пропорциональна частоте. Схема замещения будет такая:

И представим искомую функцию и правую часть дифференциального уравнения, которые зависят от непрерывных координат в виде зависимостей от дискретных значений этих координат.

Представим искомое решение и правой часть диф уравнения в виде разложения по собственным функциям дискретного оператора

Собственные функции – это есть решение дифференциального уравнения такого вида

при граничных условиях периодического типа. Возможные решения этого уравнения называются собственными функциями этого уравнения.

Коэффициент λ – собственные значения.

Это уравнение для собственных функций оно имеет решения для конкретных значений λ.

Собственные функции будем искать в виде комплексных экспоненциальных функций.

Заменяя в дифференциальные уравнении вторую производную произведением приходим к одномерному уравнению для каждого уравнения k:

где

Если известна схема обмотки статора, известен фазный ток всех 3 фаз, известно число витков, то следовательно определена функция F(i,j), можно найти φ_k(i).

Т.о. двумерная задача сводится к системе k одномерных уравнений для каждой из гармоник для k=1, k=2…

Одномерные уравнения с краевым условием первого рода решаются методом простой прогонки с использованием стандартной процедуры. Для этого дифференциальные уравнения записываются в виде конечно разностных выражений:

Порядок решения :

1. Разбиваем пространство и координаты на число интервалов N₁ по оси R и N₂ по оси φ

2. «Определяем величины интервалов разбиения

;

3. Представляем искомое решение вектроного потенциала и правую часть диф уравнения в виде разложения на собственные функции дискретных координат:

4. Подставляя вместо векторного потенциала в диф уравнение выражение через сумму гармоник и в правой части значения суммы тех же самых гармоник выполняя преобразования получаем систему одномерных диф уравнений по радиусу R для значений y(i)

Решая одномерные уравнения для каждой из гармоник уравнения определяем значение игрек К для всех точек И.

5. Зная значения игрек К определяется значение векторного потенциала A(i,j).

Получаем A[1:N₁;1:N₂];

Далее находим