Математическая модель короткозамкнутого асинхронного двигателя при питания обмоток статора от источника напряжения.
В уравнении магнитного поля используется плотность стороннего тока, которая зависит от токов статора.
Реальные значения токов неизвестны, потому что величина тока зависит от напряжения сети, параметров обмоток двигателя и от противоЭДС. Соотношение между этими величинами обычно записывается в виде уравнения Кирхгофа.
«3»
Потокосцепление – это сумма потоков, которые связанны с определённым контуром.
«4»
Потокосцепление определяется через магнитные потоки. Начнем с простейшего элемента обмотки – поток витка:
«5»
В – это магнитная индукция, которая пронизывает всю площадь одного витка
Согласно нашему допущению решается плоскопараллельная задача, т.е. не учитывается изменение магнитного поля по координате Z(длина), поэтому можно считать машину бесконечно длинной, следовательно лобовые части в расчёт не принимать.
«6»
Таким образом поток витка определяется разностью векторных потенциалов в точках, координаты которых соответствуют координатам сторон этого витка.
«6»
Полученные выражения для потока витка автоматически укорочение обмоток.
Несколько витков образуют катушку. Если рассматривать строго, то координаты всех витков будут различны. Поскольку различие координат проводников очень небольшое, то обычно она ре принимается в расчёт и считается, что все витки в катушке пронизываются одинаковым потоком. Поэтому потокосцепление катушки:
«7»
Несколько катушек, расположенных в соседних пазах образуют катушечную группу. Поскольку пазы распределены в пространстве, то потокосцепление этих катушек будет смещено по фазе в пространстве, поэтому:
«8»
Т.к. суммирование производится геометрически, то автоматически учитывается коэффициент распределения.
Если обмотка имеет несколько пар полюсов, то в фазе содержится «р» катушечных групп. Поэтому потокосцепление фазы:
«9»
Т.о. если известно решение МП, то известно значение векторного потенциала в отдельных точках исследуемой области. Зная векторный потенциал рассчитывается потокосцепление фаз. Таким образом для решения задачи необходимо иметь следующие системы:
Уравнение МП:
«10»
Уравнения Кирхгофа. Система является определённой, т.к. число неизвестных равно числу уравнений:
«11»
Для решения указанной системы возможны два варианта.
Первый способ – итерационный способ. При использовании этого метода задаются произвольными значениями токов А, В и С.
«12»
Зная значения токов, схему обмотки вычисляем правую часть диф уравнения
«13»
Зная токи равсчитываем правую часть ДУ
Решаем ДУ методом циклической прогонки и определяем значения векторного потенциала во всех точках исследуемой области
Зная значения векторного потенциала определяем значения потокосцеплений фаз.
Зная потокосцепления фаз, величину тока, параметры машины, вычисляем напряжение сети.
В случае отличия напряжения расчётных от реальных вводят корректировку величин фазных токов и вновь выполняют все описанные операции.
Процесс итераций выполняют до тех пор пока расчётные значения напряжений не будут близки к реальным.
Этот способ очень трудоёмок, требует больших временных затрат. Поэтому на практике очень редко
Второй способ – это способ наложения или суперпозиций
Согласно этому методу он используется только для решения линейных задач когда нет насыщения магнитопровода и когда одна из искомых величин может быть представлена в виде комбинации отдельных частей.
«14»
Потосцепление с одним штрихом – это потокосцепление фаз при протекании тока только по фазе А.
Потокосцепление с двумя штрихом – это потокосцепление фаз при протекании тока только по обмотке фазы В.
Потокосцепление с двумя штрихом – это потокосцепление всех фаз при протекании тока только по обмотке фазы С.
Т.к. решается линейная задача, то потокосцепление оказывается пропорционально токам, поэтому потокосцепление **************************
«15»
Подставив эти выражения в уравнения Кирхгофа получаем систему с тремя неизвестными:
«16»
Для решения системы надо знать значения коэффициентов L. Для определения этих коэффициентов поступаем так:
задаем систему токов:
«17»
Зная систему токов рассчитывают правую часть ДУ
Зная правую часть решаем ДУ и рассчитываем значения векторного потенциала во всех точках области
Зная векторный потенциал рассчитываем потокосцепление фаз
Зная потокосцепление фаз находим коэффициенты
Задаём следующую систему токов
«18».
Процедуру повторяем и находим следующую тройку коэффициентов
Задаём следующую систему токов
«19»
. Процедуру повторяем и находим следующую тройку коэффициентов
Зная коэффициенты решается система уравнений Кирхгофа и определяем реальные значения фазных токов при реальных заданных значениях напряжения сети.
Зная реальные значения токов вновь решаем уравнение МП определяем реальные значения векторного потенциала, через значения векторного потенциала находим значение магнитной индукции.
Обмотки статора двигателя могут соединяться по различным схемам. Если обмотки статора соеденены по схеме звезда с нейтральным проводом, то система фазных напряжений оказывается симметричной и всегда определена, в этом случае используется описанная методика.
Второй вариант: обмотка
статора включена по схеме треугольник
. В этом случае система напряжения
определена и можно использовать
предложенную методику.
Наиболее часто используемый вариант: схема «звезда». В этом случае система фазных напряжений не определена. В случае асимметрии нагрузки возникает смещение нейтрали и при заданных системе линейных напряжений система фазных напряжений неопределенна. Для этого варианта фазное напряжение выражают через линейное, использую известное соотношение:
«21»
Решение задачи производится так: подставляют в формулу линейных напряжений фазные напряжения, записанные по закону Кирхгофа.
Затем выражают один из токов через два других и подставляют в два записанных выше уравнения для линейных напряжений. Т.о. имеем два уравнения с двумя неизвестными. Решая систему двух уравнений с двумя неизвестными определяют третий ток, подставляют в уравнение МП все три тока, находят значение векторного потенциала.
«1»
Задача решается когда все величины решаются по гармоническому закону, следовательно находим комплексы.
Магнитная индукция даёт возможность определить момент двигателя.
«2»
Т.о. эл/магн. усилие обладает двумя составляющими: тангенсальная создает вращающий момент двигателя; вторая составляющая называется силой левитации, направлена по координатной оси R.
Сила левитации обычно имеет небольшую величину, поэтому ей можно пренебрегать. Посмотрим размерность этой силы:
«3»
Произведение плотности тока на индукцию даёт нам удельную силу. Для определения полной силы действующей на ротор надо проинтегрировать:
«4»
Под действием этой силы возникает вращающий момент:
«5»
Т.к. все величины изменяются по гармоническому закону, то эл/магнитное усилие определяют в комплексном виде:
«6»
Потери механические должны быть заданы, они зависят от скорости вращения и от диаметра расточки статора. Эти потери учитывают трение в подшипниках и трение вентилятора о воздух.
Добавочные потери – это добавочные потери при нагрузки. Возникают из-за ряда причин: эффект вытеснения, потери от высших гармоник в роторе, поери в корпусе от магнитных полей. Аналитический расчёт добавочных потерь практически невозможен, поэтому добавочные потери принимают 0,5% от мощности машины.
Зная величины фазных токов и зная потокосцепление фаз определяют величины фазных напряжений:
«7»
Зная напряжения и токи фазные, определяют полную мощность машины:
«8»
Задаваясь величиной скольжения и решая при этом рассмотренную задачу, строят рабочие характеристики
«9»