Глава III. Линейные преобразования
3.1. Матрица линейного преобразования
Преобразованием
пространства
называется правило, которое позволяет
для каждого вектора
из пространства
построить новый вектор из пространства
,
обозначаемый через
.
Вектор
называется образом вектора
.
Будем также говорить, что преобразование
переводит вектор
в вектор
.
Примеры
1. Преобразование
,
оставляющее каждый вектор
пространства
«на месте», т. е.
,
называется тождественным
преобразованием.
2. Преобразование
,
которое переводит каждый вектор
пространства
в нулевой вектор
,
т. е.
=
,
называется нулевым
преобразованием.
3. Преобразование
переводит вектор
пространства
в вектор
.
4. Образом вектора
пространства
является вектор
,
где
– заданные функции, определенные при
любых значениях переменных.
Среди всех преобразований векторного пространства выделим те, которые «хорошо» согласованы с операциями сложения векторов и умножения вектора на число. Именно, преобразование называется линейным преобразованием пространства , если оно обладает следующими двумя свойствами:
1.
для каждой пары векторов
,
пространства
.
2.
для
любого числа
и каждого вектора
пространства
.
□ Теорема 3.1.
Для каждого
линейного преобразования
пространства R
справедливы
следующие утверждения:
1.
.
2.
.
3.
.
Доказательство. Действительно,
1.
.
2.
3. Доказательство третьего утверждения проведем методом математической индукции по числу n векторов в линейной комбинации.
Докажем утверждение
3 теоремы в случае
,
т. е. докажем, что
=
.
Его справедливость вытекает из 2 свойства
определения линейного преобразования.
Пусть теперь
утверждение теоремы справедливо, если
,
т. е. выполняется равенство
Если же
,
то, используя определение линейного
преобразования и предположение индукции,
имеем
■
Пусть дана квадратная
матрица
порядка
.
Определим преобразование
формулой
для каждого
пространства
.
Линейность этого преобразования вытекает
из свойств умножения матрицы на вектор
Теперь естественно спросить, можно ли для каждого линейного преобразования подобрать такую матрицу , чтобы для каждого вектора из пространства ? Утвердительный ответ на этот вопрос будет вытекать из следующей теоремы.
Матрицей линейного
преобразования
называется матрица
,
столбцы которой
определяются по формулам
,
,
где
диагональная система векторов.
□ Теорема 3.2.
Если
−
линейное преобразование пространства
и
− матрица этого преобразования, то
для каждого вектора
из пространства
Доказательство.
Рассмотрим
произвольный вектор
пространства
.
Он разлагается по диагональной системе
векторов
Теперь имеем
■
Линейные
преобразования
и
равны
тогда и только тогда, когда
для каждого
вектора
пространства
.
□ Теорема 3.3.
Даны два линейных преобразования
и
.
Тогда равносильны следующие условия:
1) преобразования и равны;
2)
матрицы линейных преобразований
и
равны.
Доказательство
1)
2).
Из условия
для каждого
пространства
следует, в
частности, что
,
.
Отсюда вытекает, что
,
,
поэтому
.
2)
1).
Дано, что
.
Теперь
,
т. е.
■
Эта теорема позволяет отождествить линейное преобразование с его матрицей. Следовательно, изучение линейных преобразований – это изучение матриц, рассматриваемых как преобразования пространства .
Пусть даны два линейных преобразования и .
Линейное
преобразование, которое задается
матрицей
,
называется суммой
линейных
преобразований
и
,
и обозначается символом
.
Итак
.
Произведением
линейных преобразований
и
называется линейное преобразование с
матрицей
.
Если обозначить произведение линейных
преобразований символом
,
то
.
Преобразование
называется обратимым,
если
− обратимая матрица. Обозначим символом
линейное преобразование с матрицей
,
т. е.
.
Преобразование называется обратным для преобразования .
□ Теорема 3.4. Даны линейные преобразования и . Тогда справедливы следующие утверждения:
1)
2)
;
3)
,
если
преобразование
обратимо.
Доказательство вытекает из определения преобразований , и , а также свойств умножения матрицы на вектор:
1)
2)
3)
■
Задачи
1. Доказать, что
каждое преобразование
пространства
определяет набор функций
от n
переменных
при помощи которых можно записать
преобразование
в виде
2. Доказать, что
если
для каждого вектора
пространства
,
то
матрица линейного преобразования
.
Выяснить, являются
ли следующие преобразования, переводящие
вектор
в вектор
,
линейными. Найти матрицы линейных
преобразований:
3.
4.
5.
фиксированные числа;
6.
фиксированное
число;
7.
фиксированный вектор пространства
;
8. В пространстве
выбран
базис
и n
векторов
.
Если
коэффициенты разложения вектора
по базису
,
т.
е.
,
то
9. В пространстве фиксирован базис . Преобразование определяется при помощи формулы
где
фиксированный
набор чисел, а
коэффициенты
разложения вектора
по базису
,
т. е.
.
10. Координаты вектора совпадают с координатами вектора , записанными в обратном порядке.