- •Глава III. Линейные преобразования
- •3.1. Матрица линейного преобразования
- •3.2. Ядро и образ линейного преобразования
- •3.3. Собственные значения квадратной матрицы
- •1. Найти собственные значения матриц:
- •3.4. Собственные векторы квадратной матрицы
- •3.5. Свойства собственных векторов матрицы
- •3.6. Базис пространства , состоящий из собственных векторов матрицы
- •3.7. Норма линейного преобразования
- •Ортогональные матрицы
- •3.9. Симметрические преобразования и симметрические матрицы
- •Собственные значения симметрической матрицы
- •Собственные векторы симметрической матрицы
3.3. Собственные значения квадратной матрицы
Число называется собственным значением (или характерис-тическим числом) квадратной матрицы порядка , если можно подобрать такой n-мерный ненулевой вектор , что
Для того чтобы найти собственные значения матрицы , рассмотрим матрицу
Особый интерес представляет определитель матрицы . Если раскрыть определитель , то получится многочлен n-й степени относительно х
Этот многочлен называется характеристическим многочленом матрицы . Его коэффициенты зависят от элементов матрицы . Можно найти выражения для этих коэффициентов через элементы матрицы . Заметим только, что
, .
Уравнение называется характеристическим уравнением матрицы .
□ Теорема 3.9. Множество всех собственных значений матрицы совпадает с множеством всех решений характеристического уравнения матрицы .
Доказательство. Рассмотрим следующую цепочку равносильных утверждений:
уравнения ■
Пример
Найти собственные значения матрицы
= .
Решение
Сначала найдем характеристический многочлен матрицы .
= .
Собственные значения матрицы являются корнями ее характеристического уравнения . Так как
,
то матрица имеет два собственных значения: .
Задачи
1. Найти собственные значения матриц:
а) ; б) ; в) ; г) ;
д) ; е)f) .
2. Доказать, что собственные значения диагональной матрицы равны ее диагональным элементам.
3. Найти собственные значения треугольной матрицы.
4. Доказать, что нуль является собственным значением матрицы тогда и только тогда, когда – вырожденная матрица.
5. Доказать, что собственные значения матрицы обратные собственным значениям матрицы
6. Все собственные значения матрицы равны . Найти все собственные значения матриц: а) ; б)
7. Доказать, что собственные значения матрицы и совпадают, если – обратимая матрица.
8. Дана матрица , квадрат которой совпадает с матрицей , т. е. . Доказать, что собственные значения матрицы равны или .
9. Доказать, что собственные значения матриц и совпадают.
3.4. Собственные векторы квадратной матрицы
Собственным вектором квадратной матрицы порядка , принадлежащим ее собственному значению , называется n-мерный вектор , для которого .
Множество всех собственных векторов матрицы , принадлежащих ее собственному значению , обозначим символом . В следующей теореме отыскание собственных векторов сводится к решению однородной системы линейных уравнений.
□ Теорема 3.10. Множество всех собственных векторов матрицы порядка , принадлежащих ее собственному значению l, совпадает с множеством всех решений однородной системы линейных уравнений , где
Доказательство. Рассмотрим следующую цепочку равносильных утверждений:
■
Следствие. Множество является подпространством пространства
Так как множество решений однородной системы уравнений является подпространством пространства , то утверждение следствия вытекает из теоремы 3.10.
Теперь сформулируем алгоритм отыскания всех собственных векторов матрицы .
1. Найти все собственные значения матрицы , т. е. найти все корни уравнения =0.
2. Для каждого , , найти базис подпространства , т. е. найти фундаментальный набор решений системы уравнений .
Пример
Найти собственные значения матрицы
.
В примере из п. 3.3 были найдены собственные значения матрицы , а именно . Теперь найдем подпространства собственных векторов и . Так как
= –
то система линейных уравнений имеет следующий вид:
Фундаментальный набор решений этой системы уравнений содержит один вектор который является базисом подпространства .
Теперь найдем базис подпространства . Построим систему линейных уравнений
.
Фундаментальный набор решений этой системы уравнений состоит из векторов которые образуют базис подпространства
Задачи
1. Доказать, что матрица порядка имеет единственное собственное значение, если каждый n-мерный вектор является собственным вектором матрицы .
2. Доказать, что все n-мерные векторы тогда и только тогда являются cобственными векторами матрицы , когда матрица имеет вид
3. Доказать, что собственные значения матрицы и совпадают. Найти связь между собственными векторами этих матриц.
4. Найти собственные векторы матриц
а) ; б) ; в) ; г) ;
д) ; е) .