Ортогональные матрицы

Квадратная матрица порядка n называется ортогональной, если ее столбцы образуют ортонормированную систему векторов.

Из теоремы 3.15 следует, что ортогональные матрицы и только они являются матрицами ортогональных преобразований.

Столбцы ортогональной матрицы образуют ортонормированную систему векторов, значит ее столбцы линейно независимы. Отсюда вытекает невырожденность ортогональной матрицы и, следовательно, ее обратимость.

Установим теперь некоторые свойства ортогональных матриц.

□ Теорема 3.16. Дана квадратная матрица порядка n. Тогда следующие утверждения равносильны.

1) ортогональная матрица;

2) ;

3) ортогональная матрица.

Доказательство

1) 2). Из ортогональности матрицы следуют равенства

если i ,

.

Эти равенства перепишем в виде

если ,

.

Из этих двух равенств и определения умножения матриц вытекает

Умножая последнее равенство матриц справа на матрицу , получим = .

2) 3). Рассмотрим линейное преобразование . Для любой пары векторов из пространства Rⁿ имеем

Следовательно, линейное преобразование является ортогональным. Из теоремы 3.15 вытекает ортогональность матрицы .

3) 1). Дано, что – ортогональная матрица и, значит, – ортогональное преобразование (теорема 3.15). Ортогональность линейного преобразования вытекает из следующей цепочки равенств:

Из ортогональности преобразования следует ортогональ-ность матрицы . ■

В дальнейшем потребуется следующее утверждение.

□ Теорема 3.17. Произведение ортогональных матриц и порядка является ортогональной матрицей.

Доказательство. Рассмотрим линейные преобразования и . Из определения умножения линейных преобразований следует, что . Так как матрицы и ортогональны, то преобразования и g также ортогональны. Докажем ортогональность преобразования . Для любой пары векторов пространства имеем

Из этого равенства вытекает ортогональность преобразования . Следовательно, матрица этого преобразования ортогональна. ■

Задачи

1. Доказать ортогональность преобразования (начало каждого вектора предполагается совпадающим с началом координат):

а) преобразование поворачивает каждый вектор пространства на один и тот же угол по часовой стрелке;

б) в пространстве фиксирована плоскость , проходящая через начало координат. Вектор симметричен вектору относительно плоскости

2. Доказать, что произведение ортогональной матрицы на число будет ортогональной матрицей тогда и только тогда, когда = 1.

3. Построить две ортогональные матрицы порядка n, сумма которых не является ортогональной матрицей.

4. Доказать, что определитель ортогональной матрицы равен .

5. Доказать, что собственные значения ортогональной матрицы равны

6. Доказать, что будет ортогональной матрицей, если и – ортогональные матрицы.

7. Доказать, что если и – ортогональные матрицы, то и – ортогональная матрица.

8. Доказать, что матрица тогда и только тогда будет ортогональной, если ее строки образуют ортонормированную систему векторов.

9. Доказать, что матрица порядка n будет ортогональной тогда и только тогда, когда = для каждого вектора пространства Rⁿ.

10. Даны два n-мерных вектора и одинаковой длины. Построить ортогональное преобразование пространства , для которого

11. Найти матрицу ортогонального преобразования, которое переводит вектор в вектор .

12. Построить ортогональную матрицу, первая строка которой пропорциональна вектору .

13. Доказать ортогональность линейного преобразования, которое переводит векторы , , в векторы , , .