- •Глава III. Линейные преобразования
- •3.1. Матрица линейного преобразования
- •3.2. Ядро и образ линейного преобразования
- •3.3. Собственные значения квадратной матрицы
- •1. Найти собственные значения матриц:
- •3.4. Собственные векторы квадратной матрицы
- •3.5. Свойства собственных векторов матрицы
- •3.6. Базис пространства , состоящий из собственных векторов матрицы
- •3.7. Норма линейного преобразования
- •Ортогональные матрицы
- •3.9. Симметрические преобразования и симметрические матрицы
- •Собственные значения симметрической матрицы
- •Собственные векторы симметрической матрицы
3.9. Симметрические преобразования и симметрические матрицы
Линейное преобразование пространства Rn называется симметрическим, если для каждой пары векторов из пространства Rn справедливо равенство или .
В следующей теореме содержится описание матриц, которые являются матрицами симметрических преобразований.
□ Теорема 3.18. Дано линейное преобразование пространства Rn. Тогда следующие условия равносильны:
1. .
2. , т. е. симметрическое преобразование.
3. Элементы матрицы связаны соотношениями
Доказательство
1 2. Дано, что . Для каждой пары векторов , из пространства Rn имеем
Отсюда следует, что .
2 3. Дано, что для каждой пары векторов из пространства Rn. Теперь имеем
3 1. Дано, что элементы матрицы связаны соотношениями .
Отсюда следует, что , т. е. . Из этого равенства получаем следующую цепочку следствий: . ■
Квадратная матрица порядка называется симметрической, если . Из теоремы 3.18 следует, что симметрические матрицы и только они являются матрицами симметрических преобразований.
□ Теорема 3.19. Если – симметрическая, а – ортогональная матрицы, то – симметрическая матрица.
Доказательство. По условию , а из свойств ортогональных матриц вытекает равенство . Утверждение теоремы следует из следующей цепочки равенств:
,
т. е. и, значит, матрица – симметрическая. ■
Собственные значения симметрической матрицы
□ Лемма. Если матрица
необратима, то либо , либо собственное значение матрицы т. е. матрица имеет собственное значение.
Доказательство. Дано, что матрица
–
необратима. Так как произведение обратимых матриц обратимо, то из необратимости матрицы вытекает, что хотя бы одна из матриц – необратимая матрица.
Если необратима матрица , то . Отсюда следует, что число – собственное значение матрицы . Если же необратима матрица , то, соответственно, и число – собственное значение матрицы А. Итак, одно из чисел , либо является собственным значением матрицы .
□ Теорема 3.20. Каждая симметрическая матрица имеет собственное значение.
Доказательство. Из леммы вытекает, что для доказательства теоремы достаточно установить необратимость матрицы . Для этого, ввиду теоремы 3.13, достаточно показать, что на множестве нормированных векторов пространства Rn.
Рассмотрим скалярный квадрат вектора
Сначала заметим, что из леммы о норме линейного преобразования следует
(16) Далее, матрица – симметрическая. Используя теорему о симметрической матрице, получаем
(17)
Используя соотношения (16), (17) и получаем
.
Так как на множестве нормированных векторов пространства Rn, то величина . Теперь окончательно получаем .
Поскольку – константа, а величину за счет выбора нормированного вектора можно сделать сколь угодно малой, то на множестве нормированных векторов пространства Rn. ■