Глава II. Аффинные множества

2.1. N-мерное точечное пространство

Если на плоскости или в пространстве введена система координат, то каждая пара чисел задает точку на плоскости, а каждая тройка чисел – точку в пространстве. Более того, множество всех пар чисел можно отождествить с множеством всех точек плоскости, а множество всех троек чисел – с множеством всех точек пространства, что позволяет следующим образом обобщить понятия точки, плоскости и пространства.

Произвольный упорядоченный набор из чисел называется -мерной точкой, а сами числа – координатами этой точки. Совокупность всех -мерных точек называется -мерным точечным пространством .

Если точка М пространства имеет координаты , то будем писать . Точка называется началом координат.

Множество всех точек пространства , у которых все координаты, кроме k-ой, равны нулю, называется координатной осью . Из этого определения следует, что ось состоит из всех точек вида , где – произвольное действительное число. Отметим, что в пространстве имеется n координатных осей: .

Совокупность всех точек пространства , у которых k-я координата равна нулю, называется координатной гиперплоскостью . Таким образом, гиперплоскость состоит из точек вида , где независимо друг от друга пробегают все действительные числа. В пространстве имеется n координатных гиперплоскостей: гиперплоскости .

На плоскости и в трехмерном пространстве направленным отрезком называется отрезок, у которого отмечены начало и конец. Первой в обозначении направленного отрезка записывают точку, которая называется его началом, а второй – точку, являющуюся концом этого направленного отрезка. Таким образом, направленный отрезок однозначно определяется упорядоченной парой точек, т.е. парой, в которой определено, какая из двух точек является первой, а какая – второй. Обобщим это определение направленного отрезка на случай пространства .

Упорядоченная пара точек А,В пространства называется направленным отрезком, который по-прежнему обозначается через . Точка А называется началом, а точка В – концом направленного отрезка .

Определим координаты направленного отрезка следующим образом. Если , , то числа , которые равны разностям координат конца и начала , называются координатами направленного отрезка . В этом случае будем писать .

Если соответствующие координаты n-мерного вектора и направленного отрезка совпадают, то будем говорить, что вектор отложен от точки пространства , и писать . Таким образом, чтобы отложить n-мерный вектор от точки , надо построить такую точку В, чтобы соответствующие координаты направленного отрезка и вектора совпадали.

Каждый n-мерный вектор можно отложить от любой точки пространства . Действительно, обозначим точку с координатами . Тогда .

Полагаем , если их соответствующие координаты равны. Сложение направленных отрезков и умножение их на число осуществляется по правилам, сформулированным для n-мерных векторов. Направленный отрезок часто называют вектором.

Вектор называется радиус-вектором точки . Ясно, что координаты точки и радиус-вектора этой точки совпадают. Вместо вектора будем писать . Так как координаты векторов и равны, то .

□ Теорема 2.1. Справедливы следующие утверждения, где – произвольные точки пространства :

;

;

.

Доказательство.

1) .

2) .

3)

Расстоянием между точками и пространства называется длина вектора . Расстояние между точками и обозначим . Тогда

.

□ Теорема 2.2. Расстояние между точками пространства обладает следующими свойствам:

1. ;

2. ;

3. .

Доказательство.

1. .

2.

3. .■

Задачи

Доказать следующие утверждения, где и т.д. − произвольные точки пространства .

1. ;

2. ;

3. ;

4. .

5. + + = 0.

6.