Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Российская экономическая академия им. Г. В. Плеханова»

(ГОУ ВПО «РЭА им. Г. В. Плеханова»)

Б. М. РУДЫК

АЛГЕБРА ВЕКТОРОВ И МАТРИЦ

Москва

ГОУ ВПО «РЭА им. Г. В. Плеханова»

2008

УДК 519(075.8)

ББК 22.143я73

Р836

Рецензенты: канд. экон. наук П. Н. Л о м а н о в

канд. физ.-мат. наук С. П. К р а в ч у к

Р836	Рудык Б. М. Алгебра векторов и матриц : учебное пособие. – М. : ГОУ ВПО «РЭА им. Г. В. Плеханова», 2008. – 124 с.

ISBN 978-5-7307-0626-2

В пособии рассматриваются векторные пространства, аффинные множества, линейные преобразования и квадратичные формы. Теоретический материал сопровождается большим количеством примеров, облегчающих изучение предмета, каждый теоретический раздел заканчивается значительным количеством тщательно подобранных задач.

Для студентов специальности 080116.65 «Математические методы в экономике».

УДК 519(075.8)

ББК 22.143я73

ISBN 978-5-7307-0626-2 ГОУ ВПО «РЭА им. Г. В. Плеханова», 2008

Глава I. Векторные пространства

1.1. Линейная оболочка системы векторов

Совокупность всех n-мерных векторов, рассматриваемая вместе с определенными в ней операциями сложения векторов и умножения вектора на число, называется n-мерным векторным пространством .

Пусть дана система n-мерных векторов . Обозначим через R( ) множество всех векторов пространства , которые разлагаются по системе векторов , т. е.

R( ) .

Множество R( ) называется линейной оболочкой, порожденной системой векторов . Ясно, что ,

Примеры

1. Доказать, что линейная оболочка вектора в пространстве или совпадает с множеством всех векторов , концы которых принадлежат прямой .

Действительно, .

2. Доказать, что линейная оболочка пары неколлинеарных векторов и пространства R совпадает с множеством всех векторов , концы которых лежат в плоскости .

Имеем , = + прямые и

лежат в одной плоскости .

Отметим следующие свойства линейной оболочки.

1. Для каждой пары векторов и подпространства их сумма принадлежит .

2. Для каждого вектора пространства и любого действительного числа вектор принадлежит линейной оболочке .

□ Теорема 1.1

Даны две линейные оболочки = R( ) и = R( ). Линейная оболочка содержится в , т. е. , тогда и только тогда, когда каждый вектор системы разлагается по векторам .

Необходимость. Из соотношения R( ) R( ) вытекает, что каждый вектор из линейной оболочки R( ) принадлежит R( ). Так как вектор R( ), то, следовательно, , . Отсюда следует, что вектор разлагается по системе векторов .

Достаточность. Дано, что каждый вектор _i разлагается по векторам , . Докажем, что R( ) R( ). Рассмотрим произвольный вектор , принадлежащий R( ). Тогда g разлагается по векторам , а каждый вектор , по условию, разлагается по векторам _. Теперь из утверждения 5 § 1 [1] вытекает, что g разлагается по векторам и, значит, R( ).

Следствие. Линейные оболочки = R( ) и = R( ) совпадают тогда и только тогда, когда системы векторов и эквивалентны. ■

Пример

Дана квадратная матрица порядка n и система уравнений , , с n неизвестными. Доказать, что множество всех векторов вида , − решение системы уравнений , является линейной оболочкой.

Решение. Пусть фундаментальный набор решений системы уравнений . Докажем, что . Это равенство вытекает из следующей цепочки импликаций решение системы уравнений

.

Задачи

1. Выяснить, принадлежат ли векторы =(−3,1,1,2), =(−7,−23,1,−3) линейной оболочке L=( , , ), где =(3,0,5,2), =(3,6,4,3), =(−4,1,2,3).

2. Доказать, что линейная оболочка таких трех векторов и совпадает с пространством , если точка не принадлежит плоскости ОАВ.

3. Дано, что n-мерные векторы , и попарно коллинеарные. Доказать, что .

4. Доказать, что , если .

Известно, что – часть системы векторов . Установить, что линейная оболочка R( ) Í R( ).

5. Доказать, что множество решений системы линейных уравнений является линейной оболочкой.

6. Доказать, что линейная оболочка, порожденная системой ненулевых векторов, содержит бесконечно много различных векторов.

7. Выяснить, содержится ли линейная оболочка в линейной оболочке :

а) = (1,1,1,1), = (2,1,−3,0), = (1,−1,1,2), = (3,−2,8,8), = (0,4,−10,−7);

б) = (1,3,2,3), = (1,1,2,1), = (1,2,1,1), = (1,1,1,1),

= (1,4,1,3).

8. Дана квадратная матрица порядка n и линейная оболочка . Доказать, что множество всех векторов вида , где вектор принадлежит линейной оболочке , является линейной оболочкой.