- •Глава III. Линейные преобразования
- •3.1. Матрица линейного преобразования
- •3.2. Ядро и образ линейного преобразования
- •3.3. Собственные значения квадратной матрицы
- •1. Найти собственные значения матриц:
- •3.4. Собственные векторы квадратной матрицы
- •3.5. Свойства собственных векторов матрицы
- •3.6. Базис пространства , состоящий из собственных векторов матрицы
- •3.7. Норма линейного преобразования
- •Ортогональные матрицы
- •3.9. Симметрические преобразования и симметрические матрицы
- •Собственные значения симметрической матрицы
- •Собственные векторы симметрической матрицы
3.7. Норма линейного преобразования
Линейное преобразование называется ограниченным сверху, если можно подобрать такое число , что для каждого нормированного вектора из пространства Rn выполняется неравенство
□ Теорема 3.12. Каждое линейное преобразование пространства ограничено сверху.
Доказательство. Пусть − произвольный нормирован-ный вектор из пространства Rn. Тогда квадрат длины этого вектора
.
Отсюда вытекает
1,…, 1 + … + .
Теперь полагаем , где
,
и докажем, что Действительно,
■
Из доказанной теоремы следует, что множество
ограничено сверху. Следовательно, это множество имеет точную верхнюю грань, обозначаемую символом . Будем называть ее нормой линейного преобразования , а также называть нормой матрицы . Итак,
= Sup{ }
на множестве нормированных векторов пространства Rn.
□ Лемма. Для каждого вектора из пространства Rn справедливо неравенство
Доказательство. Если вектор = , то вектор . Отсюда и , значит утверждение теоремы справедливо.
Если же вектор , то отсюда и из определения нормы линейного преобразования следует
■
□ Теорема 3.13. Линейное преобразование обратимо тогда и только тогда, когда
{ }
на множестве нормированных векторов пространства Rn.
Необходимость. Сначала установим, что норма каждой обратимой матрицы больше нуля. Действительно, если длина вектора равна единице, т. е. = 1, то и из обратимости матрицы следует и, значит, Теперь, из определения нормы линейного преобразования имеем или
По условию матрица обратима, а поэтому обратима матрица . Из доказанного выше утверждения следует > 0. Наконец, если – произвольный вектор длины единицы, то, используя лемму, имеем
Отсюда
{ }
Достаточность. Дано { } . Для доказательства обратимости преобразования достаточно установить, что = (теорема 3.6). Предположим противное, т. е. пусть . Это означает, что в подпространстве найдется ненулевой вектор и . Теперь рассмотрим следующую цепочку равенств:
, = = = .
Итак, нашелся такой нормированный вектор , что = 0. Отсюда вытекает, что
{ } = 0 (13)
на множестве нормированных векторов ε пространства Rn. Равенство (13) противоречит условию достаточности теоремы. ■
Задачи
1. Доказать, что на множестве нормированных векторов пространства Rn.
2. Найти норму линейного преобразования .
3. Доказать, что норма линейного преобразования равна наибольшему из чисел , ,…, , где
.
4. Доказать, что норма ненулевой матрицы больше нуля.
5. Доказать, что для любых квадратных матриц и справедливы неравенства:
а) ;
б) .
3.8. Ортогональные преобразования
и ортогональные матрицы
Ортогональные преобразования
Линейное преобразование называется ортогональным, если для каждой пары векторов из пространства Rn выполняется равенство
Следующая теорема иногда облегчает доказательство ортогональности линейного преобразования.
□ Теорема 3.14. Линейное преобразование будет ортогональным тогда и только тогда, когда выполняются следующие два условия:
1) , т. е. преобразование не изменяет длины векторов;
2) , т. е. преобразование не изменяет углы между векторами.
Необходимость вытекает из следующих равенств:
Достаточность. Ортогональность преобразования следует из следующей цепочки равенств:
. ■
В следующей теореме, характеризующей ортогональные преобразования, содержится, в частности, критерий, которому должны удовлетворять матрицы ортогональных преобразований.
□ Теорема 3.15. Рассмотрим линейное преобразование . Тогда следующие условия равносильны:
1) линейное преобразование ортогонально;
2) линейное преобразование переводит ортонормированный базис пространств Rn в ортонормированный базис, т. е. если ,…, – ортонормированный базис, то – ортонормированный базис пространства Rn;
3) столбцы матрицы образуют ортонормированную систему векторов.
Доказательство
1) 2). Пусть ,…, − ортонормированный базис Rn, т. е.
= 0, если ,
= 1,
Так как из условия 1) теоремы следует, что для каждой пары векторов , из пространства Rn, то
если ,
Отсюда вытекает, что является ортонормированной системой векторов и, значит, она линейно независимая. Так как эта система содержит n векторов, то из теоремы 1.5 следует, что базис Rn.
2) 3). Рассмотрим диагональную систему векторов , которая является ортонормированным базисом Rn. Из условия 2) теоремы получаем, что ортонормированный базис Rn. Так как из определения матрицы линейного преобразования следует , то – ортонормированная система векторов.
3) 1). Пусть и – произвольная пара векторов пространства Rn. Тогда
, (14)
,
.
По условию 3) теоремы, система векторов является ортонормированной. Теперь из свойства 3 [1. §7] ортогональных систем векторов получаем, что
. (15)
Из сопоставления соотношений (14) и (15) вытекает равенство
,
т. е. ортогональность линейного преобразования ■