- •1. Основные понятия и задачи экспериментальных исследований
- •1.1. Активные и пассивные, однофакторные и многофакторные эксперименты
- •1.2. Основные задачи планирования эксперимента
- •2. Первичная обработка результатов экспериментов
- •2.1. Общие сведения
- •2.2. Статистические оценки результатов наблюдений
- •2.3. Расчет доверительного интервала для математического ожидания
- •2.4. Определение необходимого объема выборки
- •2.5. Отбрасывание грубых наблюдений
- •2.6. Проверка гипотезы об однородности двух дисперсий
- •2.7. Проверка однородности нескольких дисперсий, найденных по выборкам одинакового объема
- •2.8. Проверка однородности нескольких дисперсий, найденных по выборкам различного объема
- •2.9. Проверка однородности средних
- •2.10. Проверка нормальности распределения
- •2.11. Коэффициент корреляции
- •2.12. Применение таблиц сопряженности для оценки взаимосвязи признаков
- •2.13. Ранговая корреляция
- •2.14. Использование коэффициента конкордации для обработки экспертных оценок при ранжировании
- •3. Обработка результатов эксперимента
- •3.1. Основные виды математических моделей
- •3.2. Метод наименьших квадратов
- •3.3. Об интервале съема данных и продолжительности пассивного эксперимента
- •4.5. Статистический анализ уравнения регрессии
- •4.5.1. Дисперсия воспроизводимости
- •4.5.2. Проверка адекватности регрессионной модели
- •4.5.3. Последовательность действий исследователя при проведении эксперимента с целью построения регрессионной модели объекта
- •5. Задачи оптимизации. Основные понятия
- •5.1. Общая постановка задачи исследования операций
- •5.2. Выбор и требования к критерию оптимальности
- •5.3. Многокритериальные задачи исследования операций
- •5.4. Задачи исследования операций в условиях неопределенности
- •5.5. Оптимизация технологических процессов с применением методов линейного программирования
- •5.5.1. Примеры моделей и общая постановка задачи линейного программирования
- •5.5.2. Транспортные задачи линейного программирования
3.2. Метод наименьших квадратов
В данном пункте рассматривается идея основного (для количественных факторов) метода обработки результатов эксперимента с целью получения математического описания объекта – метода наименьших квадратов. Для простоты рассмотрим случай варьирования единственного фактора . Предположим, что эксперимент состоит в постановке опытов, и в этих опытах фактор принимает значения . Здесь значение фактора в опыте номер , . Выходная величина принимает в этих опытах значения соответственно. Отложим по оси абсцисс значения фактора , принимаемые им в опытах, а по оси ординат – соответствующие значения , получим совокупность точек (рис. 3.3). Цель эксперимента – получение регрессионной зависимости , которая с достаточной точностью описывала бы результаты эксперимента.
|
Рис. 3.3. Пояснение метода наименьших квадратов
|
Пусть требуется исследовать зависимость износа режущего инструмента от продолжительности резания. Износ оценивается радиусом затупления режущего лезвия . Тогда точки на рис. 3.3 – это значение , соответствующее разным значениям продолжительности резания. Закономерность изменения износа в зависимости от продолжительности резания получим на графике, если проведем гладкую кривую, лежащую возможно ближе к экспериментальным точкам. Однако на глаз такую кривую можно провести разными способами и, кроме того, помимо графика хотелось бы получить аналитическое представление для исследуемой зависимости. Все это заставляет обратиться к аналитическим методам построения регрессионной модели.
Конкретизируем приведенное выше требование, чтобы экспериментальные точки лежали в совокупности как можно ближе к кривой, являющейся графиком искомой зависимости. Допустим, что аналитическое представление зависимости от уже каким-то образом получено в виде уравнения регрессии . График зависимости – это искомая кривая (рис. 3.3).
Значениям фактора , равные соответствуют точки на кривой . Эти точки являются значениями выходной величины, рассчитанными по уравнению регрессии .
(3.4)
Найдем величину равную (рис. 3.3), которая характеризует отклонение результата эксперимента в точке от значения функции отклика в этой же точке. Аналогично рассмотрим отклонения .
Согласно методу наименьших квадратов (сокращенно МНК), оценки для коэффициентов регрессии отыскиваются из условия минимума суммы квадратов отклонений , т. е.
(3.5)
В настоящее время для статистических расчетов (в общем) и для получения уравнений регрессии (в частности) с помощью персонального компьютера, широко используется специализированный пакет фирмы
3.3. Об интервале съема данных и продолжительности пассивного эксперимента
При проведении пассивного эксперимента и, в частности, в процессе наблюдения над промышленными объектами возникает вопрос об интервале съема данных и необходимой продолжительности всего эксперимента. Обозначим через временной интервал между последовательными измерениями выходной величины эксперимента. В предположении, что изменения исследуемой выходной величины во времени представляют собой стационарный случайный процесс, интервал съема данных можно определить из условия некоррелированности наблюдений. Для расчета надо иметь диаграмму изменений за некоторое время . По ней подсчитывают число пересечений диаграммой линии среднего значения за время . Вычисляют среднее число пересечений за единицу времени по формуле . Тогда искомую величину интервала съема данных отыскивают из условия:
(3.6)
Считается, что для определения достаточно взять интервал времени , в течение которого получено 40 – 70. Нецелесообразно выбирать величину , превышающую значение из-за возможных изменений внешних условий, параметров объекта и т. п.
При оценке времени наблюдения над выходной величиной, т. е. продолжительности пассивного эксперимента предлагается руководствоваться требованием, чтобы за это время наблюдаемая переменная успела пройти весь диапазон своего изменения с некоторой заданной вероятностью . Предположим, что весь диапазон изменения выходной величины разбит на ряд одинаковых интервалов в соответствии с разрешающей способностью измерительного прибора и известна вероятность попадания величины в верхний и нижний интервал диапазона. Величину берут обычно из отчетных данных. Продолжительность эксперимента определяют по формуле
(3.7)
где интервал съема данных; параметр, определяемый в зависимости от заданной вероятности по формуле . Укажем, что для типичных значений 0,95, 3,68; для 0,99; 5,3.
Формулы (3.6) и (3.7) можно использовать не только для определения временных интервалов, связанных с продолжительностью съема данных, но и для расчета других физических величин, характеризующих объем проводимого пассивного эксперимента.