5.2. Выбор и требования к критерию оптимальности

При содержательной постановке различных технологических, а чаще, организационно-технических задач цель нередко формулируется качественно: например, улучшить работу ремонтных служб предприятия, навести порядок в инструментальном хозяйстве, повысить качество изделий. Целей чаще всего бывает несколько: например, повысить производительность труда при одновременном снижении себестоимости продукции и улучшении ее качества. При переходе к математической формулировке задачи все многообразие целей должно быть сведено, как уже отмечалось, к единственному количественному показателю, называемому критерием оптимальности. Это означает, что критерий оптимальности должен выражаться некоторым единственным числом и, следовательно, слову «лучше» в содержательной постановке задачи должно соответствовать слово «больше» («меньше») по отношению к выбранному критерию. Требование единственности критерия легко объяснить. Предположим, что найдено решение задачи, при котором один из критериев достигает экстремума, т. е. максимума или минимума.

Но другой критерий при этих же условиях, как правило, не достигнет экстремального значения. Поэтому математическая задача оптимизации с несколькими критериями оказывается неразрешимой.

Кроме перечисленных, отметим еще ряд требований к критерию оптимальности. Он должен оценивать эффективность системы, определяться с достаточной точностью без больших затрат и потерь времени, быть универсальным, т. е. всесторонне характеризовать объект. Желательно, чтобы критерий оптимальности был простым и имел физический смысл.

Различают экономические, технико-экономические, технологические, эстетические и некоторые другие виды критериев оптимальности. К экономическим критериям относятся прибыль, приведенный доход, себестоимость, срок окупаемости, приведенные затраты, рентабельность и др. Из технико-экономических наиболее употребителен критерий производительности. В качестве критериев этой же группы могут выступать надежность, долговечность, коэффициент полезного действия. Технологическими критериями могут служить выход продукта, его физические и механические характеристики, расход сырья и т. д. Эстетические критерии используют при решении задач художественного конструирования и технической эстетики, например при оценке внешнего вида мебельных изделий. Большей универсальностью характеризуются экономические критерии.

5.3. Многокритериальные задачи исследования операций

Эффективность сложного мероприятия оценивают обычно не по одному, а по нескольким критериям. Соответствующие задачи исследования операций называют многокритериальными. Переход к математической постановке задачи оптимизации и, следовательно, к единственному критерию оптимальности может осуществляться различными способами. Их обычно называют способами свертки критериев.

Наиболее распространен из них следующий. Из всех рассматриваемых критериев выделяют важнейший, по которому и решается задача. На все остальные критерии накладываются только некоторые ограничения. Пусть для определенности имеется пять критериев: , первые три из которых требуется увеличить, а остальные уменьшить. В качестве важнейшего выбран критерий . Тогда задача решается с позиций максимума критерия , а остальные показатели войдут в число условий функционирования объекта в виде неравенств:

Здесь некоторые заданные числовые значения соответствующих показателей. Для их отыскания, а также для выбора важнейшего критерия используют результаты анализа объекта и условий его функционирования.

Другой способ свертки критериев заключается в формировании некоторого обобщенного критерия , представляющего собой функцию от частных критериев . Предположим сначала, что все эти частные критерии имеют одинаковые размерности и диапазоны изменения. Тогда обобщенный критерий можно записать в виде дроби, числитель которой представляет собой произведение всех частных критериев, которые надо обратить в максимум, а знаменатель – произведение минимизируемых критериев. Отыскивается максимум критерия . Так, для предыдущего примера с пятью критериями максимизируемый обобщенный критерий имеет вид

Очевидно, что максимум обобщенного критерия будет достигаться при наибольших значениях частных критериев в числителе и наименьших значениях – в знаменателе дроби. Основной недостаток такого подхода заключается в том, что при его использовании может быть достигнуто приемлемое значение обобщенного критерия даже при неудовлетворительных значениях некоторых частных критериев за счет улучшения других оптимизируемых показателей. Может показаться, например, что низкое качество продукции компенсируется высокой производительностью, если оба эти показателя входят в выражение для обобщенного критерия оптимальности в виде частных критериев.

Более гибким является формирование обобщенного критерия в виде взвешенной суммы частных критериев:

где вес соответствующего критерия. Он берется с плюсом, если частный критерий , должен обращаться в максимум, или с минусом в случае его минимизации. Ищется максимум обобщенного критерия . Абсолютные величины коэффициентов берутся пропорциональными важности соответствующего частного критерия с учетом требования их нормированности:

Чтобы упорядочить критерии по степени их важности и найти соответствующие веса, часто используют экспертные оценки.

Заметим, что требование минимума для некоторого критерия всегда можно заменить требованием максимума для противоположной величины ( ). Поэтому в дальнейшем без ограничения общности будем считать, что каждый из критериев требуется увеличить.

Если частные критерии имеют различную размерность, то переходят к безразмерным показателям по формуле

где соответственно максимальное и минимальное значения критерия . Как видно из этой формулы, безразмерный показатель изменяется от 0 до 1. Если величина или заранее неизвестна, то ее можно найти, решив задачу оптимизации по единственному критерию . Для обобщенного критерия , который формируется как взвешенная сумма показателей , отыскивается максимум:

Как уже отмечалось, задача оптимизации с несколькими критериями в принципе не может быть корректно поставлена математически. Для многокритериальных задач в связи с этим более эффективен другой подход, который предполагает специальный анализ множества допустимых решений с целью исключения из рассматриваемого множества возможных вариантов заведомо неудовлетворительных решений. Предположим, что для данного допустимого решения найдено другое решение, которое лучше предыдущего по каждому из рассматриваемых критериев. Тогда первое решение следует исключить из дальнейшего анализа как неперспективное. Оставшееся множество решений называется множеством Парето. Как правило, оно содержит значительно меньше элементов, чем исходное множество допустимых решений. Поэтому исследователь может провести содержательный анализ их и выбрать лучшее решение, исходя из дополнительных неформальных требований. Эффективные методы построения множества Парето, разработанные к настоящему времени, достаточно сложны.