4.5. Статистический анализ уравнения регрессии

4.5.1. Дисперсия воспроизводимости

После того как уравнение регрессии получено, приступают к его статистическому анализу. При этом решить задачу проверки адекватности математической модели. Для выполнения этой процедуры необходимо иметь количественную оценку ошибок эксперимента в целом. Соответствующей характеристикой является дисперсия воспроизводимости, обозначаемая через . Рассмотрим способы ее вычисления в зависимости от методики дублирования опытов.

1. Равномерное дублирование. Каждый из запланированных опытов повторяется одинаковое число раз, т. е. имеется серий, в каждой из которых ставится дублированных опытов.

Обозначим результаты опытов первой серии через . По ним можно рассчитать дисперсию первого опыта

(3.8)

где среднее по серии дублированных опытов, равное

(3.9)

Аналогично рассчитываются средние и дисперсии всех остальных опытов:

(3.10)

(3.11)

Отметим, что числа степеней свободы всех дисперсий одинаковы и равны . В качестве дисперсии воспроизводимости берется среднее арифметическое дисперсий опытов

(3.12)

Число степеней свободы этой дисперсии равно сумме чисел степеней свободы дисперсий опытов

(3.13)

Необходимыми предпосылками статистического анализа являются нормальность распределения выходной величины и однородность дисперсий опытов. Проверка однородности дисперсий опытов при равномерном их дублировании проводится по критерию Кохрена.

2. Неравномерное дублирование. Каждый -й опыт повторяется в этом случае некоторое число раз. Как и в предыдущем случае, вычисляются дисперсии первого, второго, …, -го опытов: по формулам, аналогичным формуле (3.11), только вместо здесь будет стоять :

(3.14)

Числа степени свободы дисперсий, вообще говоря, различны: . Дисперсия воспроизводимости для этого случая определяется по формуле

(3.15)

Число степеней свободы ее равно

(3.16)

Для проверки однородности дисперсий в данном случае необходимо воспользоваться критерием Бартлетта.

3. Рассмотрим частный случай неравномерного дублирования, когда из поставленных опытов дублируется только один, для определенности – первый с числом повторений раз. Дисперсия, рассчитанная по этой серии, принимается за оценку дисперсии воспроизводимости с числом степеней свободы .

4. Отсутствие дублированных опытов. Для оценки дисперсии воспроизводимости в этом случае приходится ставить отдельную серию дублированных опытов, если это возможно. Как и в предыдущем случае, дисперсия опытов этой серии служит оценкой дисперсии воспроизводимости с числом степеней свободы, равным , где число дублированных опытов в отдельной серии.

4.5.2. Проверка адекватности регрессионной модели

Регрессионная модель, построенная по результатам эксперимента, позволяет рассчитать значения отклика в разных точках области варьирования факторов. Для этого в уравнение регрессии подставляют соответствующие значения варьируемых факторов. Проверка адекватности математической модели дает возможность экспериментатору ответить на вопрос, будет ли построенная модель предсказывать значения выходной величины с той же точностью, что и результаты эксперимента.

Пусть число опытов экспериментального плана или число серий параллельных опытов, если опыты дублируются; число оцениваемых коэффициентов регрессии математической модели. Проверка адекватности возможна только при , т. е. если план эксперимента является ненасыщенным. Для проверки адекватности модели необходимо знать оценку дисперсии воспроизводимости .

Порядок проверки адекватности модели.

1. Определяют сумму квадратов, характеризующую адекватность модели . При равномерном дублировании ее рассчитывают по формуле

(3.17)

Здесь число дублированных опытов в каждой серии; среднее значение результатов эксперимента в -й серии дублированных опытов; значение выходной величины, рассчитанное по уравнению регрессии для -го основного опыта. В случае неравномерного дублирования

(3.18)

где число дублированных опытов в -й серии. При отсутствии дублирования опытов

(3.19)

где результат -го опыта.

2. Вычисляют число степеней свободы дисперсии адекватности. При любой методике дублирования опытов оно равно

(3.20)

3. Вычисляют дисперсию адекватности

(3.21)

4. С помощью критерия Фишера проверяют однородность дисперсии адекватности и дисперсии воспроизводимости .

При этом вычисляют

(3.22)

которое сравнивают с табличным значением критерия найденным при выбранном уровне значимости для чисел степеней свободы в числителе и в знаменателе. Если , то модель считается адекватной и может быть использована для описания объекта. В противном случае модель неадекватна.

Рассмотренный метод проверки адекватности модели имеет простой физический смысл. В основе этой процедуры лежит проверка гипотезы об однородности дисперсии адекватности и дисперсии, характеризующей ошибку эксперимента. Заметим, что дисперсия адекватности характеризует расхождение между результатами эксперимента и значениями выходной величины , вычисленными по уравнению регрессии. Логично принять, что модель удовлетворительно описывает объект исследования, т. е. является адекватной, если указанное расхождение вызвано только экспериментальными ошибками, а не связано, например, с неудачным выбором вида математической модели. Проверка гипотезы об однородности рассматриваемых дисперсий и выясняет «общность происхождения» экспериментальных ошибок и расхождения между , и .

Кроме проверки адекватности модели можно оценить ее эффективность, информационную ценность. При отсутствии дублированных опытов эффективность регрессионной модели оценивают следующим образом.

1. Вычисляют дисперсию относительно среднего значения отклика

(3.23)

где среднее значение отклика по всем опытам; .

2. Рассчитывают остаточную дисперсию :

(3.24)

3. Вычисляют отношение :

(3.25)

Величина показывает, во сколько раз уравнение регрессии описывает результаты эксперимента точнее, чем простое среднее арифметическое, взятое по всем опытам. Регрессионная модель считается эффективной, если (3…5).

Для экспериментов с дублированными опытами формула (3.25) остается в силе, а выражения для дисперсий и примут вид:

где значение отклика в -м дублированном опыте -й серии; число серий дублированных опытов;