1. Наиболее вероятной скорости

   • соответствует максимум фун­кции распределения .

   • Эта скорость определяется из усло­вия ,

   • откуда следует .

2. Средняя скорость по определению .

3. Среднеквадратичная скорость ;

• она находится из условия ,

• откуда .

Пример: Средняя скорость молекулы азота при Т=300К равна 480 м/с. Эта величина имеет поря­док скорости звука в азоте, = 350 м/с. Приведенные характерные скорости отличаются друг от друга в пропорции = 1 : 1,13 : 1,22.

Качественно это показано на рис. 6.

Рассмотрим зависимость распределения от температуры.

- Подставив значение в формулу (7),

- получим, что .

В соответствии с этим результатом для разных температур кривые распределения будут иметь вид, пока­занный на рис. 7.

Видно, что

• с увеличением Т максимум фун­кции смещается в сторону больших скоростей,

• а его вели­чина уменьшается.

• При этом площадь под все­ми тремя кривыми остается равной единице.

Кривые на рис. 7 можно рассматривать и иначе — как соответствующие разным массам молекул газа при одной и той же температуре, причем .

Рис. 7

9.4. Формула Максвелла в приведенном виде

Решение ряда задач удобнее проводить, если выражать ско­рости молекул в относительных единицах — единицах наибо­лее вероятной скорости .

Тогда относительная скорость мо­лекулы

При переходе к новой переменной должно выпол­няться равенство .

Отсюда .

Заменив в правой части этого ра­венства на ,

Получим

В таком виде распределение Максвелла является универса­льным: оно не зависит ни от температуры, ни от рода газа.

Пример. Найдем относительное число молекул dN/N со скоростями, отличающимися от наиболее вероятной не более, чем на η = 1%. В данном случае u = 1, и

где dи = 2η, поскольку на η % отклонения могут быть как в одну, так и в другую сторону.

5.3.5. Распределение по энергиям молекул

Н

2

айдем функцию распределения по кинетическим энергиям поступательного движения молекул газа.

Обозначим эту функцию , где

и воспользуемся равенством .

Здесь

• энергии ε соответствует скорость ,

• а интервалу dε — интервал .

Из выражения кинетической энергии ε следует, что .

Т огда

или

где А — нормировочный множитель, .

График этой функции показан на рис. 8.

Наиболее вероятная энергия находится из условия dФ/dε = 0:

.

Интерес представляет тот факт, .

Это связано с тем, что функция Ф(ε) получена из путем ум­ножения последней не на константу, а на , кото­рое зависит от ε. Именно это приводит к “перекашиванию” функции Ф (ε) относи­тельно и смещению максимумов данных функций.

Лекция 10

9.6. Опытная проверка распределения Максвелла

9.7. Распределение Больцмана

9.8. Барометрическая формула

9.9. Распределение Больцмана при дискретных уровнях

9.10. Закон распределения Максвелла—Больцмана

9.6. Опытная проверка распределения Максвелла

Рассмотрим два наиболее точных эксперимента, осуществлен­ных с целью проверки распределения Максвелла по скоростям.

1. В опыте Ламмерта (1929)

Рис. 9, а).

В объеме V находится газ в равновесном состоянии.

Выходящий из отверстия в стенке объема V молекулярный пучок проходит коллиматор К из последовательных отверстий, который образует почти параллель­ный пучок.

Далее пучок попадает на устройство С, сортирую­щее молекулы по скоростям, и детектор D для регистрации мо­лекул после сортировки.

V

K

D

C

а) б)

Рис. 9.

Устройство С представляет собой два вращающихся диска (на одной оси) со щелями вдоль радиусов.

Если щели повернуты на угол φ относительно друг друга, то при угловой скорости диски повернутся на угол φ в течение промежутка времени Δt = φ/ω.

Поэтому через обе щели, расстояние между которыми , пройдут молекулы со скоростью .

Меняя угловую скорость или угол между радиальными щелями, можно выделить из пучка молекулы разных скоро­стей. Улавливая детектором эти молекулы в течение одинако­вого времени, можно найти их относительное количество в пуч­ке.

2. В другом опыте левая часть установки (V, К на рис.9, а), формирующая параллельный пучок молекул, остается той же.

Но селектор С и детектор D совмещены во вращающемся цилин­дре со щелью S (рис. 9. б).

Когда щель S попадает в падаю­щий пучок С, через нее в цилиндр входит порция молекул. Мо­лекулы с разными скоростями достигают противоположной стенки цилиндра с различным запаздыванием по отношению к моменту прохождения щели S пучком P и поэтому попадают на различные участки D противоположной стенки цилиндра. Измерив степень почернения различных участков D, можно определить распределение молекул в пучке по скоростям.

Разумеется, все эти опыты проводились в условиях высокого вакуума и, кроме того, с учетом различия распределения моле­кул по скоростям в пучке и в объеме V. Результаты этих и других опытов оказались в полном согла­сии с законом распределения, установленным Максвеллом.