9.9. Распределение Больцмана при дискретных уровнях
Полученное Больцманом распределение относится к случаям,
когда молекулы находятся во внешнем поле
и их потенциальная энергия U может изменяться непрерывно.
С ростом U концентрация частиц уменьшается.
Больцман обобщил свой закон на случай распределения, зависящего от внутренней энергии E молекулы (атома).
Известно, что величина E в этом случае может принимать лишь дискретный ряд дозволенных значений, и соответствующее распределение Больцмана записывают так:
.
где 1 и 2— два произвольных (интересующих нас) уровня (состояния),
—
отношение числа частиц на этих уровнях,
которым отвечают внутренние энергии
и
g — кратность вырождения каждого уровня. Например, кратность вырождения
- энергетического уровня атома водорода с главным квантовым числом n равна g = 2n2;
- кратность вырождения колебательного уровня двухатомной молекулы g = 1, а у вращательных уровней g = 2r+1, где r — вращательное квантовое число.
Именно в таком виде распределение Больцмана для дискретного спектра используется наиболее часто.
Рассмотрим пример. Макросистема состоит из N частиц, которые
- могут находиться в двух состояниях, 1 и 2,
- с внутренними энергиями
и
,
причем
.
Известно, что
.
Найдем зависимость среднего числа
частиц
в состоянии 2 от температуры T
системы.
В
данном случае
,где
.
Исключив
из этих двух уравнений, получим
.
На рис. 12 приведен график зависимости
.
10.10. Закон распределения Максвелла—Больцмана
Распределения Максвелла и Больцмана являются составными частями единого распределения, называемого распределением Гиббса .
Оба разобранных нами распределения можно объединить в один закон распределения Максвелла-Больцмана, согласно которому число dN молекул, проекции скорости которых и их координаты лежат в интервалах
,
определяется выражением
где нормировочный множитель
U = U(x,
y, z).