9.7. Распределение Больцмана

В отсутствие внешних сил средняя концентрация п молекул газа в состоянии термодинамического равновесия всюду одина­кова.

Если же газ находится во внешнем силовом поле, ситуа­ция становится иной.

Рассмотрим, например, поведение молекул газа, находяще­гося под действием силы тяжести.

Если бы не было теплового движения, то все молекулы «упали» бы на поверхность Земли. Наличие же теплового движения мешает этому.

В результате совместного действия этих двух факторов устанавливается не­которое равновесие, и концентрация молекул становится зависящей от высоты.

Найдем эту зависимость.

Пусть газ находится во внешнем поле потенциальных (кон­сервативных) сил, действующих для простоты в одном направ­лении и зависящих только от координаты z.

При тепловом рав­новесии температура Т должна быть одинакова по всей толщи­не газа, иначе бы возникли потоки тепла, и состояние газа не было бы равновесным.

Д ля определенности будем счи­тать, что

• силы внешнего поля на­правлены вниз,

• а ось Z — вверх (рис. 10).

Выделим мысленно бес­конечно узкий слой газа толщиной dz с площадью основания столба, равной единице (S = 1).

Запишем условие равновесия этого слоя, ис­пользуя гидростатический подход.

На слой dz действует

- направленная вверх сила, обусловленная разностью давлений dp (dp < 0),

- и сила, действующая вниз со стороны внешнего поля.

При равно­весии должно соблюдаться равенство (8)

где — проекция внешней силы, действующей на каждую мо­лекулу.

Заметим, что левая и правая части этого равенства яв­ляются отрицательными.

Из механики известно, что

где U — потенциа­льная энергия молекулы во внешнем поле.

Поэтому (8) мож­но переписать так: .

Будем считать газ идеальным.

Подставим давление из основного уравнения МКТ p = nkT,

продифференцировав, получаем dp = dnkT.

Тогда , или

Проинтегрировав последнее уравнение, получим .

Будем считать, что и ,

Тогда Этот закон и выражает распределение Больцмана.

С помощью распределения Больцмана можно найти число молекул в интересую­щем нас элементарном объеме dV:

При этом следует иметь в виду, что объем dV может иметь, вообще говоря, не любую форму. Обязательным является вы­полнение условия: во всех точках объема dV концентрация n должна быть одинаковой.

Приведенный вывод фор­мулы распределения Больцмана является чисто гидростатическим: в нем мы по сути рассматривали газ как сплошную среду, отвлекаясь от его молекулярной структуры.

Это допустимо лишь для достаточно плотных газов при наличии большого числа столкновений.

Не­обходимо, чтобы средний свободный пробег молекул между по­следовательными столкновениями был мал по сравнению с тол­щиной dz слоя.

Только в этом случае имеет смысл говорить о давлении, которое действует на слой dz со стороны соседних слоев. И тем не менее приведенный вывод привел к верному ре­зультату.

9.8. Барометрическая формула

Умножив обе части распределения Больцмана на kT,

получим со­гласно основному уравнению МКТ, что давление

где — молярная масса, R — универсальная газовая постоянная.

Это так называемая барометрическая формула.

О на строго спра­ведлива для идеального газа, температура которого не зави­сит от высоты (изотермическая атмосфера).

На рис. 11 пока­заны два графика зависимости давления от высоты z при разных температурах . Следует обратить внимание на то, что в отличие от распределений n(z), кривые p(z) на рис. 11 начинаются в одной точке независимо от температуры.

Это не случайно и имеет простое объяснение .

Рис.11

Рассмотрим, как ведет себя центр масс газа в поле тяжести.

При анализе ситуации, изображенной на рис. 11, мы приходим к выводу, что

в результате повышения температуры от до центр масс газа перемещается вверх.

Возникает вопрос: под действием какой внешней силы?

На первый взгляд вроде ничего не изменилось — ни сила тяжести, ни сила реакции со стороны поверхности Земли (ведь давление осталось прежним).

На самом же деле в процессе нагревания газа равновесие нарушается , вторая сила оказывается большей по модулю. Она направлена вверх и вызывает перемещение центра масс.

Представим барометрическую формулу в виде ,

где — это высота, на которой давление убывает в е раз.

Значение h играет роль характерной толщины атмосферы.

При = 20 г/моль и Т = 280 К величина h = 8 км.

По сравнению с радиусом Земли атмосфера — тонкая пленочка (что и позволяет при получении барометрической формулы считать ускорение g не зависящим от высоты).

Вычислим число молекул с помощью функции распределения Больцмана.

• Возьмем на поверхности Земли площадку с площадью S = 1

• и рассмотрим столб воздуха над этой площадкой.

• В слое толщиной dz на высоте z находится число молекул

• Интегрируя это выражение по z от 0 до ∞, находим полное число молекул N столбе:

• Затем умножим N на массу т одной молекулы и на площадь поверхности Земли . В результате найдем, что масса М атмосферы

.

Эту задачу можно решить и проще, рассуждая так.

Поскольку атмосфера Земли в целом находится в равновесии, то можно считать, что сила тяжести, действующая на газ в каждом вертикальном столбе единичного сечения, уравновешивается силой реакции со стороны поверхности Земли, т.е. давлением

(1 атм).

Умножив на площадь поверхности Земли, получим Mg, где М — искомая масса.

Отсюда М = 5,3 • 10¹⁸ кг.

Строго говоря, атмосфера Земли не является равновесной.

Атмосфера непрерывно рассеивается, хотя для Земли этот процесс идет очень медленно. Рассеивание обусловлено тем, что в процессах соударения молекул в верхних слоях атмосферы неизбежно возникают молекулы, скорости которых оказываются больше второй космической. И таким молекулам иногда «удается» без столкновений покинуть атмосферу Земли. За все время существования Земля потеряла очень малую часть своей атмосферы.

Из распределения Больцмана возникает следующий «парадокс»: почему в поле тяжести при движении молекул

• вверх их кинетическая энергия уменьшается, а температура остается прежней, т.е. средняя кинетическая энергия не меняется,

• а при движении вниз кинетическая энергия всех молекул увеличивается, а средняя их энергия остается той же?

Этот «парадокс» был разъяснен уже Максвеллом. При движении

• вверх молекулы действительно замедляются, но при этом наиболее медленные молекулы выбывают из потока частиц.

• вниз, наоборот, молекулы не только ускоряются, но одновременно их поток пополняется более медленными молекулами. В результате средняя скорость теплового движения молекул остается неизменной.

Сила тяжести меняет лишь концентрацию молекул на разных высотах, но не температуру газа

. И закон распределения Больцмана как раз и выводится из условия, чтобы температура газа оставалась всюду одной и той же.