1. Форма ║a║ 2. Форма ║b║

3. Форма ║y║ 4. Форма ║z║

;

5. Форма ║h║ 6. Форма ║g║

; .

Коэффициенты, стоящие перед токами и напряжениями, называются параметрами соответствующей формы. Принято считать, что параметры всех форм четырёхполюсников в общем случае являются комплексными величинами, но это не отмечается не точкой ни чертой.

Параметры уравнений четырёхполюсников заключают определенный физический смысл. Так, некоторые параметры уравнений формы ║Z║ могут быть определены следующим образом. Если в системе уравнений формы ║Z║ принять равными нулю токи и , то параметры Z₁₁ и Z₂₂ будут определяться из этих уравнений следующими соотношениями:

Видно, что Z₁₁ является входным сопротивлением четырёхполюсника при холостом ходе. Аналогично, Z₂₂ является входным сопротивлением четырёхполюсника со стороны клемм 2-2' при холостом ходе со стороны клемм 1-1'. Отметим, что под холостым ходом понимается электрический режим схемы, когда к выходным клеммам не подключена нагрузка и они разомкнуты.

Если в системе уравнений формы ║Y║ придать нулевые значения напряжению и напряжению , то из полученных уравнений параметры Y₁₁ и Y₂₂ будут определены по следующим соотношениям:

.

Указанные напряжения имеют нулевые значения, когда к клеммам, где имеют место эти напряжения, подключена перемычка. По этой перемычке протекает ток, но падение напряжения на ней равно нулю, так как её сопротивление равно нулю. Такой электрический режим цепи называется режимом короткого замыкания. Видно, что Y₁₁ является проводимостью четырехполюсника со стороны клемм 1-1' при коротком замыкании со стороны клемм 2-2'. Очевиден и физический смысл параметра Y₂₂. Попробуйте сами его сформулировать.

Параметры четырехполюсников могут быть выражены друг через друга, т. е., зная параметры одной формы можно определить параметры любой другой формы. Рассмотрим это свойство на примере выражения параметров формы ║А║ через параметры формы ║Y║. В системе уравнений формы ║Y║ сделаем замену = - и запишем эту систему:

(1.1)

Найдем из второго уравнения :

. (1.2)

Сравнивая это уравнение с первым уравнением системы формы ║А║, получаем:

Подставляя полученное уравнение (1.2) в первое уравнение исходной системы (1.1), после простых преобразований получим:

(1.3)

Воспользуемся понятием определителя параметров Y:

.

Тогда уравнение (1.3) принимает вид:

Сравнивая это уравнение со вторым уравнением формы ║А║, получим:

Вычислим определитель параметров А через параметры Y:

Для обратимого четырехполюсника:

Тогда очевидно, что:

(1.4)

Связи параметров одной формы четырёхполюсника с параметрами других форм четырёхполюсника представлены в Приложении 2.

1.3. Определение параметров четырёхполюсников через параметры холостого хода и короткого замыкания

Радиотехнические устройства состоят из отдельных узлов (каскадов), соединенных определенным образом (последовательно, параллельно и т. д.). Теория четырёхполюсников, как будет показано в дальнейшем, позволяет определить параметры всего радиотехнического устройства через параметры его составных узлов, которые в свою очередь являются так же четырёхполюсниками. Поэтому очень важно знать параметры исходных четырёхполюсников, уметь их определять. Напомним, что под параметрами четырёхполюсников понимаются параметры уравнений четырёхполюсников, которые и будем определять.

При определении параметров четырёхполюсников используют режимы холостого хода и короткого замыкания по отношению к выходным выводам четырёхполюсников. Как говорилось, входными выводами могут быть клеммы 1-1' или 2-2', тогда выходными будут соответственно 2-2' или 1-1'.

Режимом холостого хода (х. х.) называется режим, когда к входным клеммам подключен источник, а выходные клеммы разомкнуты. В этом случае на входных клеммах имеется напряжение и ток, а на выходных клеммах есть только выходное напряжение. Рассмотрим это на примере четырехполюсника с Z-параметрами (рис.1.4). Здесь в одном случае входными клеммами являются 1-1' (рис.1.4,а), а в другом случае клеммы 2-2' (рис.1.4,б).

Величины входных сопротивлений четырёхполюсников в режиме холостого хода называются параметрами холостого хода четырёхполюсника и обозначаются и . Эти сопротивления для каждого из названных случаев, исходя из схем, определяются по формулам:

Если обратиться к уравнениям четырёхполюсников в форме ║Z║, то увидим, что:

Из полученного можно сделать вывод, что определить параметры Z₁₁ и Z₂₂ можно через параметры холостого хода. Практически это можно сделать путем измерения входных напряжения и тока или аналитически. Рассмотрим пример.

Пример: Определим параметры холостого хода для схемы рис.1.5,а. Для нахождении подключаем источник к клеммам 1-1', а клеммы 2-2' оставляем разомкнутыми (рис.1.5,б).

В соответствии с ранее полученным, запишем:

Выполняя расчет схемы, находим :

Подставляем найденное значение в выражение для :

Величину сопротивления ещё можно определить как эквивалентное сопротивление между выводами 1-1^/ (рис.1.5,а) при разомкнутых выводах 2-2^/.

Для определения подключаем источник к клеммам 2-2', а клеммы 1-1' оставляем разомкнутыми (рис. 1.5,в). Выражение для имеет вид:

Выполняя расчет схемы, находим :

Подставляя найденное значение в выражение для , получим:

Величину сопротивления ещё можно определить как эквивалентное сопротивление между выводами 2-2^/ (рис.1.5,а) при разомкнутых выводах 1-1^/.

Режимом короткого замыкания (к.з.) называется режим, когда к входным клеммам подключен источник, а выходные клеммы замкнуты. Это показано для двух случаев четырехполюсников с Z-параметрами (рис.1.6).

Так как сопротивление закороченной цепи равно нулю, то и напряжение между клеммами равно нулю. Т. е. в первом случае при I₂'≠0, U₂=0, а во втором случае при I₁≠0, U₁=0.

Величины входных сопротивлений четырехполюсников в режиме короткого замыкания называются параметрами короткого замыкания четырёхполюсника и обозначаются и . Они определяются:

Обратимся к уравнениям четырёхполюсника формы ║Y║ и определим Y₁₁ и Y₂₂:

Сравнивая последние выражения, видим, что:

Делаем вывод, что для определения параметров Y₁₁ и Y₂₂ необходимо создать режим короткого замыкания и найти и .

Параметров холостого хода и кроткого замыкания достаточно для определения параметров обратимого четырёхполюсника. Так, параметры формы ║А║ через параметры холостого хода и короткого замыкания выражаются с помощью следующих соотношений.

(1.5)

Рассмотрим пример определения параметров формы ║А║ для схемы, приведённой на рисунке 1.5,а. В начале найдём для этой схемы параметры холостого хода и короткого замыкания:

Найденные параметры холостого хода и короткого замыкания подставляем в формулы (1.5) и определяем параметры формы ║А║. После не сложных преобразований, находим:

Предлагается проверить правильность полученных соотношений. Если воспользоваться методикой определения физического смысла параметров любой формы уравнений, изложенной в параграфе 1.2, то, пользуясь системой уравнений формы ║А║, можно у становить физический смысл этих параметров, что должно совпасть с размерностью полученных выражений. Так параметр является коэффициентом обратной передачи по напряжению в режиме холостого хода и должен быть безразмерным. Действительно, полученное выражение для безразмерно. Предлагается провести аналогичный анализ и для других параметров формы ║А║.

1.4. Входное сопротивление четырёхполюсника при произвольной нагрузке

При изменении величины нагрузки четырёхполюсника изменяется его входное сопротивление. Это легко увидеть на примере простой схемы четырехполюсника (рис.1.7).

О чевидно, что при изменении величины R_Н, будет изменяться сопротивление между клеммами 1-1'. Известно, что для обеспечения максимума передачи мощности от источника в нагрузку необходимо обеспечить условие согласования. Если к 1-1' подключен источник сигнала и при каком-то значении R_Н выполняется условие согласования, то необходимо знать как изменение R_Н изменит величину входного сопротивления и режим согласования.

У становим связь входного сопротивления четырёхполюсника с нагрузкой. Через сопротивление обозначим входное сопротивление четырёхполюсника относительно клемм 1-1' (рис. 1.8,а), а через сопротивление обозначим входное сопротивление четырёхполюсника относительно клемм 2-2' (рис. 1.8,б). Уже отмечалось, что нагрузка может подключаться как к клеммам 2-2', которую обозначим через (рис. 1.8,а), так и к клеммам 1-1', которую обозначим через (рис. 1.8,б). Поясним физический смысл этих нагрузок. Если рассматривать четырёхполюсник, как, например, усилительный каскад, то под сопротивлением понимается входное сопротивление устройства, подключённого к клеммам 2-2'. Это может быть входное сопротивление последующего каскада усилителя или сопротивление звуковоспроизодящего устройства. Под сопротивлением следует понимать выходное сопротивление устройства, подключённого к клеммам 1-1'. Это может быть, например, внутреннее сопротивление микрофона или выходное сопротивление предыдущего каскада.

Рассмотрим подключение нагрузки к четырёхполюсникам формы ║А║ (рис. 1.8,а) и формы ║В║ (рис. 1.8,б).

Для этих четырёхполюсников входные сопротивления будут определяться из очевидных соотношений:

Величину можно определять с помощью системы уравнений формы ║А║, разделив первое уравнение на второе:

(1.6)

Последнее соотношение получено после деления числителя и знаменателя на ток и с учётом того, что (рис. 1.8,а):

.

Величину можно определить с помощью системы уравнений формы ║В║, разделив первое уравнение на второе:

Последнее соотношение получено делением числителя и знаменателя предыдущего соотношения на ток и с учётом того, что (рис. 1.8,б):

.

При анализе четырехполюсников удобно пользоваться какой-то одной формой параметров. В выражении для , представляя параметры формы ║В║ (Приложение 2) через параметры формы ║А║, получим:

(1.7)

Итак, располагая выражениями (1.6) и (1.7), можно выполнять анализ влияния изменения нагрузки на величины входных сопротивлений. Последовательность расчета состоит в том, что вначале определяются параметры холостого хода и короткого замыкания четырёхполюсника. Затем по соотношениям (1.5.) находятся параметры четырёхполюсника формы ║А║. Наконец, по формулам (1.6) и (1.7) определяются величины входных сопротивлений.

На примере схемы (рис. 1.9) рассмотрим применение полученных выше формул для определения входного сопротивления схемы. В соответствии с (1.6) входное сопротивление (относительно клемм 1-1') равно:

Выражаем в полученной формуле параметры формы ║А║ через параметры холостого хода и короткого замыкания в соответствии с (1.5), при этом параметр А₁₁ не будем раскрывать:

Из исходной схемы (рис. 1.9) найдём значения для необходимых параметров холостого хода и короткого замыкания:

; ; .

Подставим найденные выражения параметров холостого хода и короткого замыкания в полученную формулу для входного сопротивления и после не сложных преобразований получим:

.

Так как схема рисунок 1.9 не сложная, то проверить правильность полученного результата можно путём определения выходного сопротивления непосредственно из схемы:

.

Видим, что результаты совпадают и это подтверждает правильность рассмотренной выше теории определения входных сопротивлений для четырёхполюсника. Для простой схемы, как в рассмотренном случае, конечно удобнее определить входные сопротивления для четырёхполюсника непосредственно из схемы. Для сложных сем и устройств применение аппарата теории четырёхполюсников оказывается очень результативным.

1.5. Характеристические параметры четырехполюсника

К характеристическим параметрам четырехполюсника относятся параметры, которые характеризуют и определяют наиболее важные его свойства. К ним относятся параметры, которые определяют условия передачи максимума мощности в четырехполюсник и в нагрузку, а также параметры, определяющие затухание сигнала в самом четырехполюснике.

1.5.1. Входные и выходные характеристические сопротивления четырёхполюсника

Любой четырёхполюсник, как уже отмечалось, по каждому из входов характеризуется определенной величиной входного сопротивления. Входное сопротивление относительно выводов 1-1' обозначают через сопротивление , а относительно выводов 2-2' через сопротивление . Внешнюю цепь, подключаемую к выводам четырёхполюсника, принято называть нагрузкой для соответствующих выводов четырёхполюсника и обозначать и (рис. 1.10).

К ак известно, для обеспечения условия согласования источника с нагрузкой, т. е. для создания условия, при котором в нагрузку от источника передается максимум мощности, необходимо, чтобы внутреннее сопротивление источника равнялось сопротивлению нагрузки.

В рассмотренной схеме (рис. 1.10) для выводов 1-1' источником является цепь, подключённая к этим выводам, и внутренним сопротивлением его является сопротивление . Сопротивлением нагрузки для этого источника является входное сопротивление четырёхполюсника . Тогда для обеспечения режима согласования относительно выводов 1-1' должно выполняться равенство:

.

Эти величины принято обозначать через сопротивление , которое называется входным характеристическим сопротивлением. Тогда можно записать:

Для выводов 2-2' под внутренним сопротивлением источника понимается сопротивление , так как с этих выводов сигнал передаётся в последующую цепь и четырёхполюсник здесь является источником. Тогда нагрузкой для этого источника является входное сопротивление цепи, подключённой к этим выводам и величина этого сопротивления обозначается через . Для обеспечения режима согласования относительно выводов 2-2' должно выполняться равенство:

Эти величины принято обозначать через сопротивление , которое называется выходным характеристическим сопротивлением. Тогда можно записать:

Определим величины характеристических сопротивлений. Ранее были получены выражения для входных сопротивлений четырехполюсника при произвольной нагрузке (1.6) и (1.7):

Используя понятия входного и выходного характеристического сопротивления, последние выражения принимают вид:

Решая эти два выражения относительно и , находим:

(1.8)

Из полученных соотношений видно, что характеристические сопротивления и определяются через параметры четырехполюсника, в данном случае через параметры формы ║А║, которые определяются, в свою очередь, через параметры холостого хода и короткого замыкания четырехполюсника (1.5).

Подставляя (1.5) в полученные выражения для характеристических сопротивлений (1.8), выразим последние через параметры холостого хода и короткого замыкания:

(1.9)

Режим, когда выполняются условия:

, ,

называется режимом согласованного включения.

1.5.2. Оценка собственного затухания четырёхполюсника

Пассивный четырёхполюсник содержит, в общем случае, реактивные и диссипативные элементы. Наличие диссипативных элементов ведёт к рассеиванию мощности сигнала, то есть к уменьшению мощности сигнала и, как следствие, к изменению (уменьшению) напряжения и тока на выходе четырёхполюсника. Наличие в четырёхполюснике реактивных элементов ведёт к изменению фазы выходного сигнала относительно фазы входного сигнала.

Степень изменения модуля и фазы выходного сигнала относительно входного оценивается с помощью еще одного характеристического параметра четырехполюсника, который называется «мера затухания четырехполюсника» и обозначается как

, (1.10)

где a – величина собственного затухания четырехполюсника, отображающая изменение сигнала по модулю;

b – коэффициент фазы затухания четырёхполюсника, отображающий изменение фазы сигнала.

Найдем связь меры затухания четырёхполюсника с параметрами четырёхполюсника. Ранее рассматривались соотношения между характеристическими сопротивлениями четырёхполюсника и параметрами формы ║А║:

Воспользуемся следующими известными в теории четырёхполюсников соотношениями:

(1.11)

Выразим формулы для меры затухания четырёхполюсника (1.11) через параметры холостого хода и короткого замыкания. Для этого подставим в формулы (1.11) в место параметров формы ║А║ их соответствующие выражения из (1.5) и после очевидных преобразований получим:

(1.12)

Разделим на и после простых преобразований находим:

Из этого соотношения можно записать такие два выражения:

Подставляя А₂₂ в (1.11), находим:

.

Подставляя А₁₁ в (1.11), найдем:

Перемножая на , после простых преобразований находим:

.

Из этого соотношения можно записать следующие два выражения:

Подставляя А₁₂ в (1.11), находим:

Подставляя А₂₁ в (1.11), находим:

(1.13)

Обратимся к системе уравнений формы ║А║:

.

Подставим в эту систему уравнений найденные выражения для А-параметров и после некоторых преобразований получим:

(1.14)

Если учесть, что:

а также, что:

то система уравнений (1.14) принимает вид:

(1.15)

Представим комплексные величины с учетом их модулей и фаз:

(1.16)

С учетом (1.16) и (1.10) система уравнений (1.15) принимает вид:

(1.17)

В симметричном четырехполюснике согласованные сопротивления равны ( ). Известно, что комплексные величины равны, если равны их модули и фазы. Приравнивая модули левых и правых частей равенств (1.17), для симметричного четырехполюсника получаем следующие соотношения:

Из последних равенств определяем собственные затухания четырехполюсника по напряжению и току:

Полученные собственные затухания четырехполюсников выражаются в неперах (Нп). (Непер-единица измерения, названная в честь Шотландского математика Дж. Непера, изобретателя логарифмов.)

Из найденного следует, что затуханию в 1Неп. соответствует уменьшение величины напряжения или тока в е=2.718 раз.

Оценка затухания в неперах в настоящее время не находит широкого применения. Практически во всех случаях в радиотехнических цепях собственное затухание четырехполюсника оценивается в Беллах (Б) и децибелах (дБ). Первоначально эта единица использовалась для оценки затухания мощности сигнала в четырехполюснике. Затуханию в один Белл соответствует уменьшение в 10 раз мощности сигнала на выходе четырехполюсника относительно мощности сигнала на входе. Если мощность уменьшается в 100 раз, то затухание составляет 2 Б.

Собственное затухание мощности сигнала в четырехполюснике в Беллах определяется выражением:

(1.18)

где S₁ - полная мощность сигнала на входе четырехполюсника, S₂ - полная мощность сигнала на выходе четырехполюсника.

Полные мощности на входе и выходе четырехполюсника можно выразить через значения токов и напряжений и характеристические сопротивления:

Как уже отмечалось, для симметричного четырехполюсника выполняется равенство . Тогда десятичный логарифм от отношения мощностей принимает еще два выражения:

В настоящее время эти выражения, представленные через напряжения, рассматриваются как собственные коэффициенты затухания четырехполюсника по напряжению, а представленные через токи рассматриваются как собственные коэффициенты затухания по току:

Величина затухания, измеряемая в Беллах, является довольно крупной. Поэтому чаще используется величина в 10 раз меньшая - децибел [дБ]. Собственные затухания по мощности, напряжению и току в децибелах находятся из следующих выражений:

(1.19)

Определим чему равно уменьшение напряжения или тока при затухании в 1дБ. В соответствии с (1.19) запишем:

; ; .

Видно, что затуханию в 1дБ соответствует уменьшение напряжения (или тока) в 1,12 раза. Проводя аналогичный расчёт для мощности, увидим, что затухание в 1дБ соответствует уменьшению мощности в 1,26 раза.

1.6. Виды соединений четырёхполюсников

Всякое радиотехническое устройство состоит из ряда простых схемных решений, представляющих собой четырёхполюсники, которые определенным образом соединены между собой. Известны три основных вида соединения четырёхполюсников - каскадное, последовательное и параллельное. Если известны параметры исходных четырёхполюсников, то можно определить параметры всего устройства. Общая теория четырёхполюсников позволяет решить эту задачу. Рассмотрим каждый из названных способов соединения четырёхполюсников.

Каскадное соединение четырёхполюсников

Каскадным соединением четырёхполюсников называется такое их соединение, когда выходные клеммы одного четырёхполюсника соединяются с входными клеммами другого четырёхполюсника. На рис. 1.11 представлено каскадное соединение четырёхполюсника «а» и четырёхполюсника «б».

Как видно, в схеме используются четырёхполюсники формы ║А║.

Исходя из схемы (рис.1.11), запишем очевидные соотношения:

(1.20)

Нас интересуют токи и напряжения на входе и на выходе всей схемы (показано пунктиром). Поэтому очевидными также являются соотношения:

(1.21)

Запишем системы уравнений формы ║А║ для данных четырёхполюсников:

Эти системы уравнений можно представить в матричной форме:

Из (1.20) следует, что матрица выходных параметров четырёхполюсника «а» равна матрице входных параметров четырёхполюсника «б». Подставляя в систему уравнений четырёхполюсника «а» вместо матрицы выходных параметров выражение для матрицы входных параметров четырёхполюсника «б» и учитывая (1.21), получим:

В более компактной форме эта система уравнений имеет вид:

Связь между входными и выходными параметрами схемы, состоящей из n четырёхполюсников, соединённых каскадно, определяется из следующего очевидного уравнения:

.

Последовательное соединение четырёхполюсников

Последовательным соединением четырёхполюсников называется такое соединение, при котором для двух четырёхполюсников (рис. 1.12) клемма 1' первого четырёхполюсника соединена с клеммой 1 второго четырёхполюсника, а клемма 2' первого четырёхполюсника соединена с клеммой 2 второго четырёхполюсника. Видно, что при последовательном соединении четырёхполюсников последовательно соединяются их одноимённые пары клемм.

При рассмотрении последовательного соединения четырёхполюсников используются четырёхполюсники формы ║Z║. В соответствии с этим на схеме расставлены токи и напряжения.

Из схемы соединения четырёхполюсников видно, что:

(1.22)

Здесь ­­­­­­­­­­­­­­­­- токи и напряжения всей схемы соединенных четырёхполюсников (охвачено пунктирной линией).

Запишем системы уравнений формы ║Z║ для каждого из четырёхполюсников:

.

С учетом 1.22 просуммируем между собой первые и вторые уравнения этих двух систем:

В матричной форме эта система уравнений будет выглядеть так:

В более компактной форме эта система уравнений имеет вид:

Для n последовательно соединенных четырёхполюсников общая система уравнений в матричной форме имеет вид:

Параллельное соединение четырёхполюсников

П араллельным соединением четырёхполюсников называется такое соединение, при котором одноимённые пары клемм четырёхполюсников соединены между собой параллельно (рис. 1.13). При рассмотрении этого вопроса используются четырёхполюсники формы ║Y║. В соответствии с этим в схеме расставлены токи и напряжения.

Из схемы соединения четырехполюсников видно, что:

. (1.23)

Запишем системы уравнений формы ║Y║ для каждого четырёхполюсника:

С учетом 1.23, просуммируем между собой первые и вторые уравнения этих систем:

В матричной форме эта система уравнений имеет вид:

или

Для n параллельно соединенных четырёхполюсников общая система уравнений в матричной форме имеет вид:

1.7. Коэффициенты передачи четырёхполюсника

Наиболее общим из коэффициентов передачи четырёхполюсника является комплексный коэффициент передачи.

Комплексным коэффициентом передачи четырёхполюсника называется отношение выходной электрической величины в комплексной форме к входной электрической величине в комплексной форме. При этом берутся одинаковые электрические величины, например напряжения или токи.

Комплексные коэффициенты передачи по напряжению и току имеют следующий вид:

(1.24)

Рассмотрим подробнее комплексный коэффициент передачи по напряжению, как наиболее часто встречающийся при анализе цепей. В общем случае модули и фазы входного и выходного напряжений зависят от частоты:

Очевидно, что отношение этих напряжений (1.24) дает комплексное выражение, которое имеет модуль, зависящий от частоты и фазу, зависящую от частоты:

(1.25)

Модуль комплексного коэффициента передачи четырёхполюсника по напряжению называется амплитудно-частотной характеристикой четырёхполюсника (АЧХ). Исходя из (1.25), амплитудно-частотная характеристика четырёхполюсника определяется по формуле:

(1.26)

Ф аза комплексного коэффициента передачи четырёхполюсника по напряжению называется фазочастотной характеристикой четырёхполюсника (ФХЧ). Исходя из (1.25), фазочастотная характеристика четырёхполюсника определяется по формуле:

(1.27)

Пример:

Определить АХЧ и ФХЧ для заданной цепи (рис.1.14).

Напряжение определяется из очевидного соотношения:

Комплексный коэффициент передачи по напряжению находим из выражения:

.

Находим модуль комплексного коэффициента передачи, т. е. АЧХ:

Находим фазу комплексного коэффициента передачи, т. е. ФЧХ:

На рис. 1.15 показаны графики АЧХ и ФЧХ для заданной схемы:

1.8. Обратные связи в четырёхполюсниках

1.8.1. Понятие обратной связи, схема соединения четырёхполюсников с обртной связью, виды обратных связей

В радиотехнических устройствах широко используются обратные связи. Введение обратных связей приводит к изменению коэффициента усиления устройства, его входного и выходного сопротивлений, полосы пропускания. Обратная связь осуществляется между двумя четырёхполюсниками.

Обратной связью в четырёхполюснике называется такое соединение двух четырёхполюсников, при котором напряжение с выхода одного из них подается на его вход через второй четырёхполюсник. На рис. 1.16 показан четырёхполюсник с обратной связью. Здесь обратная связь осуществляется для четырёхполюсника «а» с помощью четырёхполюсника «б», который называют четырёхполюсником обратной связи.

На вход четырёхполюсника «а» подается напряжение , которое равно векторной сумме напряжения и напряжения обратной связи (рис.1.17,а). Определяющим фактором обратной связи является фазовый сдвиг между напряжением и напряжением обратной связи , который обозначим через φ.

В общем случае фазовый угол φ между ними может быть произвольным, как показано на рисунке 1.7,а. На практике этот угол имеет одно из двух значений - 180 или 0.

В том случае, когда фазовый сдвиг между этими напряжениями равен 180 (рис. 1.17,б), вектора этих напряжений направлены в противоположные стороны, а модуль напряжения равен разности модулей и . Так как всегда , то можно записать:

(1.28)

Рассмотренный случай принято называть отрицательной обратной связью (ООС).

В том случае, когда фазовый сдвиг между и равен нулю (рис. 1.17,в), вектора этих напряжений совпадают и модуль напряжения равен сумме модулей напряжения и :

. (1.29)

В этом случае обратную связь принято называть положительной обратной связью (ПОС).

Итак, различают два вида обратных связей – отрицательна обратная связь и положительная обратная связь.

В зависимости от вида обратной связи изменяются такие важные параметры четырёхполюсника, как коэффициент передачи по напряжению, входное и выходное сопротивления, полоса пропускания. Рассмотрим последовательно эти вопросы.

1.8.2. Коэффициент передачи по напряжению в четырёхполюснике с обратной связью

Как рассматривалось выше, коэффициент передачи по напряжению является комплексной величиной и он характеризуется модулем и фазой. При рассмотрении влияния видов обратных связей на коэффициент передачи по напряжению интерес представляет в первую очередь влияние обратной связи на модуль комплексного коэффициента передачи по напряжению. Поэтому в дальнейшем будет рассматриваться только модуль комплексного коэффициента передачи по напряжению.

При определении модулей коэффициентов передачи по напряжению будем пользоваться модулями напряжений. Коэффициенты передачи по напряжению каждого из четырехполюсников и всей схемы определяются очевидными выражениями:

, , , (1.30)

где - модуль комплексного коэффициента передачи четырёхполюсника «а»;

- модуль комплексного коэффициента передачи четырёхполюсника «б»;

- модуль комплексного коэффициента передачи четырёхполюсника «а», охваченного обратной связью (показано пунктиром).

Обратим внимание на следующие очевидные равенства, которые понадобятся в дальнейшем:

= =

Рассмотрим случай с отрицательной обратной связью.

Находим из (1.28):

. (1.31)

С учетом (1.30), (1.31), (1.28) находим коэффициент передачи по напряжению для всей схемы:

. (1.32)

Как видно из (1.32), общий коэффициент передачи по напряжению при отрицательной обратной связи меньше коэффициента передачи исходного четырехполюсника «а» , т. к. в полученном выражении знаменатель всегда больше единицы. Из полученного следует, что введение отрицательной обратной связи уменьшает модуль комплексного коэффициента передачи по напряжению.

Рассмотрим случай с положительной обратной связью. При положительной обратной связи напряжение находится из (1.29):

. (1.33)

С учетом (1.30), (1.33), (1.29), находим коэффициент передачи по напряжению для всей схемы:

. (1.34)

Как видно из (1.34), общий коэффициент передачи по напряжению при положительной обратной связи больше коэффициента передачи исходного четырехполюсника «а» , т. к. в полученном выражении знаменатель всегда меньше единицы. Из полученного следует, что введение положительной обратной связи увеличивает модуль комплексного коэффициента передачи по напряжению.

1.8.3. Входное и выходное сопротивления четырёхполюсника с обратной связью

Введении обратной связи в четырёхполюснике изменяет так же входное и выходное сопротивления всей схемы в сравнении с теми же сопротивлениями четырёхполюсника без обратной связи. Как известно, сопротивление в радиотехнических цепях характеризуется модулем и фазой. При рассмотрении влияния обратных связей на величины входного и выходного сопротивлений интерес представляют прежде всего модули этих сопротивлений. Поэтому ниже будет рассмотрено влияние видов обратных связей только на модули входного и выходного сопротивлений.

Оценим влияние отрицательной обратной связи на входное сопротивление четырехполюсника. Модуль входного сопротивления четырехполюсника «а» определяется отношением:

. (1.35)

Модуль входного сопротивления всей схемы равен:

. (1.36)

С учетом (1.36), (1.31) и (1.30) определяем модуль входного сопротивления всей схемы:

. (1.37)

Так как выражение в скобках всегда больше единицы, то, очевидно, что входное сопротивление четырехполюсника с отрицательной обратной связью больше его входного сопротивления без отрицательной обратной связи. Из полученного следует, что введение отрицательной обратной связи ведёт к увеличению входного сопротивления всей системы.

Оценка влияния положительной обратной связи на величину входного сопротивления четырехполюсника осуществляется аналогично тому, как это делалось для отрицательной обратной связи. Единственное отличие в том, что в (1.36) напряжение выражается из (1.29). Это меняет знак в конечном выражении (1.37) и оно принимает вид:

. (1.38)

Так как выражение в круглых скобках всегда меньше единицы, то очевидно, что входное сопротивление четырехполюсника при положительной обратной связи уменьшается. Из полученного следует, что введение положительной обратной связи ведёт к уменьшению входного сопротивления всей системы.

Рассмотрим влияние отрицательной обратной связи на выходное сопротивление четырехполюсника. Это удобно сделать, пользуясь понятием проводимости. Величина модуля выходного сопротивления четырехполюсника без отрицательной обратной связи равна:

Величина модуля выходного сопротивления всей схемы определяется из выражения:

.

С учетом того, что

и ,

определим модуль выходной проводимости:

.

Перейдем от проводимостей к сопротивлениям:

.

Тогда модуль выходного сопротивления всей схемы имеет вид:

. (1.39)

Полученное выражение (1.39) определяет эквивалентное сопротивление для параллельно соединенных и , которое, как известно, меньше наименьшего из них. Следовательно, при отрицательной обратной связи выходное сопротивление четырехполюсника уменьшается.

При оценке влияния положительной обратной связи на величину выходного сопротивления последовательность анализа и его результат аналогичен полученному для отрицательной обратной связи. В определенном смысле это очевидно. Выходное сопротивление четырехполюсника с любой обратной связью определяется параллельным включением выходного сопротивления четырехполюсника «а» и входного сопротивления четырехполюсника «б». Изменения вида обратной связи не изменяет схему включения и не изменяет фазовые соотношения между токами. Поэтому выходное сопротивление четырехполюсника с положительной обратной связью определяется так же выражением (1.39). Следовательно, при положительной обратной связи выходные сопротивления всей схемы меньше выходного сопротивления исходного четырехполюсника. Итак, видно, что введение любого вида обратной связи ведёт к уменьшению выходного сопротивления четырёхполюсника.

1.8.4. Влияние вида обратных связей на полосу пропускания четырёхполюсника

Как известно, для определения полосы пропускания графическим методом необходимо располагать графиком амплитудной частотной характеристики (АЧХ). Напомним, что под АЧХ понимается зависимость модуля коэффициента передачи по напряжению от частоты. Очевидно, что каждое радиотехническое устройство имеет свой вид амплитудной частотной характеристики. Однако, для активных четырёхполюсников, на основе которых строятся приёмно-передающие устройства и в которых применяются обратные связи, общий вид АЧХ совпадает. Это позволяет на качественном уровне проанализировать влияние обратных связей на частотные свойства таких четырёхполюсников и в частности на полосу пропускания. На рисунке 1.18 представлен общий вид АЧХ, поведение к оторого можно пояснить следующим образом. На входе активного четырёхполюсника, как правило, присутствует разделительный конденсатор, который имеет большое сопротивление на нулевой частоте и на низких частотах. Он и определяет величину входного сопротивления четырёхполюсника. Это приводит к тому, что АЧХ на нулевой частоте имеет нулевое значение и с увеличением частоты возрастает, т.к. при этом падает сопротивление разделительного конденсатора (на рисунке 1.18 левая сторона графика). Далее, на определённом интервале частот сопротивление разделительного конденсатора пренебрежимо мало и АЧХ имеет усреднено постоянное значение до некоторого значения высоких частот (рисунок 1.18, горизонтальный участок). Начиная с некоторых значений высоких частот уменьшаются усилительные свойства активных элементов четырёхполюсника (в соответствии с их частотными свойствами). Это приводит к спаду АЧХ (рисунок 1.18, правая часть графика). В общем случае АЧХ радиоустройств имеет трапецеидальный вид (рис. 1.18).

Крутизна подъема и спада АЧХ определяется частотными свойствами устройства, которые, в свою очередь, определяются числом и параметрами реактивных элементов, частотными свойствами активных (усилительных) элементов. Введение обратной связи (если схема обратной связи не частотно-зависимая) не влияет на крутизну подъема и спада АЧХ, а влияет только на максимальное значение АЧХ.

Полосу пропускания будем определять на уровне 0.707 от максимального значения АЧХ. При отсутствии обратной связи АЧХ имеет вид 1 (рис. 1.18) и полосу пропускания (П₁). Введение отрицательной обратной связи, как было рассмотрено выше, вызывает уменьшение коэффициента передачи по напряжению, что уменьшает уровень АЧХ - вид 2. Это приводит к расширению полосы пропускания (П₂). Введение положительной обратной связи повышает коэффициент передачи по напряжению. Это увеличивает уровень АЧХ - вид 3, но приводит к уменьшению полосы пропускания (П₃). Итак, введение отрицательной обратной связи в четырёхполюснике ведёт к расширению полосы пропускания, а введение положительной обратной связи ведёт к уменьшению полосы пропускания четырёхполюсника.

Рассмотренные влияния видов обратных связей на свойства четырехполюсника сведены в таблицу 1.1:

Таблица 1.1.

Вид ОС	Кu	ZBX	ZВЫХ	П
ООС	Уменьшается	Увеличивается	Уменьшается	Увеличивается
ПОС	Увеличивается	Уменьшается	Уменьшается	Уменьшается

1.9. Схемы замещения четырёхполюсников

При анализе радиотехнических устройств (транзисторы, трансформаторы, усилители и др.) не редко в место этих устройств рассматриваются, так называемые, их схемы замещения, которые представляются в виде четырёхполюсников. В практических случаях схемные решения четырёхполюсников могут быть достаточно разнообразны. Простейшими являются одноэлементные четырёхполюсники (рис. 1.19) с последовательной и параллельной ветвью.

Для четырёхполюсника с последовательной ветвью уравнения в форме ║А║ имеют вид:

Для четырехполюсника с параллельной ветвью уравнения в форме ║А║ имеют вид:

Более сложными являются Г-образные четырёхполюсники (рис. 1.20).

Ниже будет показано, что входное характеристическое сопротивление схемы рисунок 1.20,а равно выходному характеристическому сопротивлению схемы рисунок 1.20,б. С целью удобства анализа эти сопротивления обозначаются Z_П. Также будет показано, что выходное характеристическое сопротивление схемы рисунок 1.20,а равно входному характеристическому сопротивлению рисунок 1.20,б. Эти сопротивления обозначаются Z_Т.

Характеристические сопротивления Г-образных четырёхполюсников определяются по (1.9). Вычисляя Z_Т по (1.9) для каждой из схем, получим одинаковые результаты. Аналогично, вычисляя Z_П для каждой из схем получим также одинаковые результаты. Предлагается самостоятельно проверить это. С учетом обозначений элементов схем характеристические сопротивления Z_Т и Z_П определяются по следующим формулам:

(1.40)

Г-образные четырёхполюсники используются для построения Т-образных и П-образных четырёхполюсников, у которых затухание в два раз больше затухания Г-образного четырёхполюсника. Поэтому принято затухание Г-образных четырёхполюсников обозначать g/2. Затухание Г-образного четырёхполюсника вычисляется по (1.12) и, после замены параметров формы ║A║ на параметры формы ║Z║ (приложение 2), формулы принимают вид:

(1.41)

Н а рисунке 1.21 показано получение Т-образного и П-образного четырёхполюсников путем каскадного соединения Г-образных четырехполюсников. Вычисляя характеристические сопротивления для этих четырёхполюсников по (1.9), находим, что они определяются уже найденными выражениями (1.40). Правильность этого утверждения предлагается проверить самостоятельно. Полученные Т-образная и П-образная схемы четырёхполюсников позволяют понять, что индекс «Т» соответствует Т - образной схеме четырёхполюсника, а индекс «П» соответствует П - образной схеме четырёхполюсника.

Определяя величину затухания для каждого четырёхполюсника по (1.12), находим, что для обоих четырёхполюсников оно определяется одним и тем же выражением (1.42):

(1.42)

При исследовании свойств усилительных элементов радиотехнических устройств, таких как транзисторы и электронные лампы, используются активные необратимые четырёхполюсники Т-образного и П-образного типа (рис.1.22).

Т -образный четырёхполюсник (рис. 1.22,а) описывается уравнениями формы ║Z║ и имеет в схеме источник ЭДС. Величины элементов схемы выражаются через Z–параметры следующим образом:

(1.43)

П-образный четырёхполюсник (рис. 1.22,б) описывается уравнениями формы ║Y║ и имеет источник тока. Величины элементов схемы выражаются через Y-параметры следующими соотношениями:

(1.44)

Необходимо отметить, что пассивные элементы Т-образного четырёхполюсника представляют собой, в общем случае, комплексные сопротивления, а пассивные элементы П-образного четырёхполюсника являются комплексными проводимостями.

1.10. Контрольные вопросы

Для проверки степени усвоения материалов главы 1 рекомендуется ответить на ниже предлагаемые вопросы. Свои ответы сравните с ответами, приведёнными в конце этих вопросов.

1. Назовите формы систем уравнений четырёхполюсников.

2. Несут ли параметры четырёхполюсников физический смысл?

А. Нет. Б. Да.

3. Связаны ли параметры различных форм четырёхполюсников между собой?

А. Да. Б. Нет.

4. Режимом холостого хода четырёхполюсника называется режим, когда к одним клеммам подключён источник напряжения, другие ………..

А. Замкнуты. Б. Разомкнуты.

5. Параметром холостого хода четырёхполюсников называется величина ………….. сопротивления четырёхполюсника в режиме холостого хода.

А. Входного. Б. Выходного.

6. Режимом короткого замыкания четырёхполюсника называется режим, когда к одним клеммам подключён источник напряжения, а другие клеммы ………. .

А. Замкнуты. Б. Разомкнуты.

7. Параметром короткого замыкания четырёхполюсника называется величина ……….. сопротивления четырёхполюсника в режиме короткого замыкания.

А. Входного. Б. Выходного.

8. Какова последовательность определения выходных сопротивлений четырёхполюсника при произвольной нагрузке?

А. Определение Z_ВХ1 и Z_ВХ2.

Б. Определение параметров холостого хода и короткого замыкания четырёхполюсника.

В. Определение параметров формы .

9. Что понимается под характеристическим сопротивлением четырёхполюсника?

А. Сопротивление, при котором осуществляется согласование источника с нагрузкой.

Б. Сопротивление, при котором к.п.д. максимально.

10. Назовите последовательность определения характеристических сопротивлений четырёхполюсника.

А. Определение Z_С1 и Z_С2.

Б. Определение параметров холостого хода и короткого замыкания четырёхполюсника.

В. Определение параметров формы .

11. Какое из соотношений соответствует каскадному соединению четырёхполюсника.

А. Б. В.

12. Какое из соотношений соответствует последовательному соединению четырёхполюсника.

А. . Б. . В. .

13. Какое из соотношений соответствует параллельному соединению четырёхполюсника.

А. Б. В.

14. Если входное напряжение и напряжение обратной связи четырёхполюсника совпадают по фазе, то такая обратная связь называется ……….

А. Отрицательной. Б. Положительной

15. Если входное напряжение и напряжение обратной связи четырёхполюсника отличаются по фазе на 180⁰, то такая обратная связь называется ……….

А. Отрицательной. Б. Положительной

16. Какое из утверждений справедливо для четырёхполюсника, охваченного отрицательной обратной связью?

А. К_U – увеличивается. Б. Z_Вх – увеличивается. В. П – уменьшается.

17.Какое из утверждений справедливо для четырёхполюсника, охваченного положительной обратной связью?

А.К_U – увеличивается. Б.Z_Вх – увеличивается. В.П – увеличивается..

Правильные ответы:

2. Б. 3. А. 4. Б. 5. А. 6. А. 7. А. 8. Б, В, А. 9. А. 10. Б, В, А. 11. А. 12. Б. 13. В. 14. Б. 15. А. 16. Б. 17. А.