Глава 4. Нелинейные электрические цепи

4.1. Понятие нелинейного элемента и нелинейной цепи, классификация нелинейных элементов, примеры нелинейных элементов

Все элементы электрических цепей характеризуются значением определенных параметров: резистору соответствует значение его сопротивления, катушке индуктивности соответствует величина индуктивности и так далее. Когда прикладывается напряжение к некоторому электрическому элементу, то через него протекает ток. Очевидно, что при изменении величины приложенного напряжения будет изменяться и величина протекающего тока. Характеристика, показывающая как изменятся ток при изменении напряжения называется вольтамперной характеристикой или сокращённо ВАХ.

На рисунке 4.1,а показана схема для снятия вольтамперной характеристики некоторого элемента Z.

При изменении входного напряжения U измеряется его величина и ток, протекающий через элемент Z. По результатам измерений строится график изменения тока при изменении напряжения (рис. 4.1,б).

Для одних элементов ВАХ имеет вид прямой линии (график 1). Такие элементы принято называть линейными элементами. Для других элементов ВАХ отличается от прямой линии (график 2). Элементы, у которых ВАХ отличается от прямой линии, называются нелинейными элементами. Примерами нелинейных элементов являются диоды, стабилитроны, транзисторы.

Электрическая цепь, в которой содержится хотя бы один нелинейный элемент, называется нелинейной цепью.

Классификация нелинейных элементов осуществляется по виду ВАХ.

1. По характеру изменения ВАХ различают:

- нелинейные элементы с монотонно возрастающей ВАХ (рис. 4.2,а);

- нелинейные элементы с монотонно убывающей ВАХ (рис. 4.2,б);

- нелинейные элементы с немонотонно изменяющейся ВАХ (рис. 4.2,в).

2. По виду симметрии ВАХ различают:

- нелинейные элементы с ВАХ симметричной относительно начала координат (рис. 4.3,а);

- нелинейные элементы с ВАХ не симметричной относительно начала координат (рис. 4.3,б).

Необходимо иметь ввиду, что в природе не существует элементов с ВАХ, симметричной относительно осей координат. Так, если предположить, что у некоторого элемента ВАХ симметрична относительно оси абсцисс, то это означает, что при одной полярности напряжения ток в элементе может протекать в двух направлениях, что невозможно. Предположение, что элемент имеет ВАХ, симметричную относительно оси ординат, означает, что при изменении полярности приложенного напряжения направление тока в элементе не меняется, что противоречит известным в природе явлениям.

3. По степени нелинейности ВАХ различают:

- нелинейные элементы с несущественной нелинейностью, когда ВАХ по виду близка к прямой линии и может быть заменена прямой линией (рис. 4.4,а);

- нелинейные элементы с существенной нелинейностью, когда ВАХ существенно отличается от прямой линии (рис. 4.4,б).

Н елинейные элементы часто имеют несколько признаков рассмотренной классификации. Так ВАХ туннельного диода (рис. 4.5,а) является немонотонно изменяющейся, несимметричной относительно начала координат и существенно нелинейной. На рис. 4.5 показаны ВАХ и условные графические обозначения широко применяющихся нелинейных элементов: туннельного диода, стабилитрона и динистора.

4.2 Параметры нелинейных элементов - статическое и динамическое сопротивления

Э лектрическая цепь (схема, устройство) может работать в двух режимах: статическом и динамическом. Статический режим характеризуется постоянным значением приложенного напряжения и соответствующим значением тока. В этом случае сопротивление нелинейного элемента определяется законом Ома для каждого значения тока и называется статическим сопротивлением. На рис. 4.6,а показаны три точки на ВАХ нелинейного элемента. Для каждого значения напряжения (тока) сопротивление элемента определяется отношением:

. (4.1)

На рис. 4.6,в показано изменение статического сопротивления нелинейного элемента с заданной ВАХ (рис. 4.6,а) при изменении его тока.

Динамический режим работы электрической цепи характеризуется некоторым изменением тока (I) при некотором изменении напряжения (U) (рис. 4.6,б) в окрестности определенного значения напряжения (тока). В этом случае для конкретной точки на ВАХ сопротивление нелинейного элемента определяется как отношение приращения напряжения (U) к приращению тока (I). Такое сопротивление называется динамическим (R_Д).

. (4.2)

На рис. 4.6,в показано изменение динамического сопротивления нелинейного элемента с заданной ВАХ (рис. 4.6,б) при изменении тока.

В ряде случаев при определении динамического сопротивления конечные приращения напряжения и тока заменяются бесконечно малыми их приращениями. Тогда динамическое сопротивление определяется выражением:

. (4.3)

4.3. Аппроксимации вольтамперных характеристик нелинейных элементов

Под аппроксимацией ВАХ понимается аналитическое выражение, соответствующее заданной графически ВАХ нелинейного элемента. Это аналитическое выражение называется аппроксимирующим или аппроксимирующей функцией.

К аппроксимации предъявляются два основных требования – точность описания ВАХ и простота аналитического выражения. Очевидно, что эти требования противоречивы и, стремясь достичь одного из них, приходится уступать в другом. Наиболее широко применяются следующие способы аппроксимации вольтамперных характеристик:

- кусочно-линейная аппроксимация;

- аппроксимация степенным полиномом;

- аппроксимация трансцендентным выражением;

- аппроксимация гиперболической функцией;

- аппроксимация алгебраическим выражением.

Рассмотрим последовательно каждый из названных способов:

Кусочно-линейная аппроксимация - состоит в замене отдельных участков ВАХ нелинейного элемента отрезками прямой линии (рис. 4.7).

Аналитически ВАХ представляется на каждом отдельном участке уравнением прямой линии:

при ;

при ; (4.4)

при ,

где К₁, К₂, К₃ – коэффициенты аппроксимации.

Очевидно, что чем меньше интервалы, тем выше точность аппроксимации.

Аппроксимация степенным полиномом. Степенной полином (многочлен) имеет следующий вид:

. (4.5)

Для аппроксимации ВАХ нелинейных элементов используется несколько первых слагаемых степенного полинома. Такой полином называется «усеченным». Так для аппроксимации ВАХ параболического вида (рис. 4.8,а), расположенной в первом квадранте (например, ВАХ выпрямительного диода при прямом включении) используется усеченный степенной полином второй степени:

, (4.6)

где и - коэффициенты аппроксимации.

Для определения коэффициентов аппроксимации выбираются на ВАХ две точки и для их координат в соответствии с (4.6) записываются два уравнения:

. (4.7)

Решая систему (4.7), определяют коэффициенты аппроксимации и .

Для аппроксимации ВАХ, симметричной относительно начала координат (рис. 4.8,б), можно использовать усеченный степенной полином (4.5)третьей степени:

. (4.8)

Коэффициенты аппроксимации и определяются также через координаты двух точек на ВАХ, которые подставляются в (4.8) и дают систему из двух уравнений аналогично системе (4.7).

Аппроксимация трансцендентным выражением осуществляется с помощью формулы:

, (4.9)

где  и  - коэффициенты аппроксимации.

Выражение (4.9) используется часто для аппроксимации прямой и обратной ветви выпрямительного диода (рис. 4.9).

И з (4.9) видно, что при U=0 функция проходит через начало координат. При U>0 функция имеет положительное значение и быстро возрастает, а при U<0 имеет малые отрицательные значения. Для определения коэффициентов аппроксимации на ВАХ выбираются две точки и по их координатам из (4.9) получается система из двух уравнений:

. (4.10)

Решение (4.10) и определяет значения коэффициентов аппроксимации  и .

Аппроксимация гиперболической функцией. Из этой группы функций наиболее часто используются гиперболические синус и тангенс. Так гиперболический синус используется для аппроксимации основной кривой намагничивания магнитных материалов с насыщением (рис. 4.10).

Г иперболический синус имеет вид:

, (4.11)

где  и  - аппроксимирующие коэффициенты, которые находятся по двум точкам на графике из уравнений:

.

Аппроксимация алгебраическими соотношениями. Эти аппроксимирующие соотношения обладают определенной простотой. При расчете цепей по действующим или амплитудным значениям часто достаточно располагать аппроксимацией нелинейной характеристики только в первом квадранте. Так при расчете нелинейных трансформаторных узлов по действующим или амплитудным значениям достаточно располагать аппроксимацией основной кривой намагничивания только для положительных значений В и Н (рис. 4.11).

Э то значит, что характер нелинейности упрощается, а, следовательно, можно воспользоваться и более простым аналитическим выражением. Здесь вместо гиперболического синуса или степенного полинома (4.8) можно воспользоваться выражением [3]:

, (4.12)

где B₀ и  - коэффициенты аппроксимации.

Коэффициенту аппроксимации B₀ соответствует индукция насыщения, определение которой из ВАХ не составляет труда. Коэффициент  определяется по выбранной точке на ВАХ с координатами В₁ и Н₁ . Значения этих координат подставляется в (4.12). Решая полученное выражение относительно , находим:

.

Применение (4.12) для расчета цепей с насыщающимся магнитопроводом позволяет получить аналитическое решение тогда, когда этого невозможно при применении (4.8) или (4.11).

4.4. Методы расчета нелинейных цепей

Все методы расчета нелинейных цепей подразделяются на аналитические и графические методы. Графические методы подразделяются на расчет нелинейных цепей постоянного тока, расчет нелинейных цепей переменного тока по действующим значениям и по мгновенным значениям. Начнем рассмотрение методов расчета с графических методов.

4.4.1. Графический расчет нелинейных цепей постоянного тока

При любом графическом методе расчета необходимо располагать графиками ВАХ всех элементов, входящих в цепь (нелинейных и линейных). Графический расчет нелинейных цепей постоянного тока аналогичен аналитическому расчету линейных цепей методом эквивалентного преобразования и последовательность расчёта следующая. Путем графического эквивалентного преобразования ВАХ элементов нелинейной цепи определяется ВАХ для всей цепи относительно входных клемм. Графически определяется входной ток и затем, возвращаясь к исходной схеме, находятся токи в ветвях и напряжения на элементах схемы. Рассмотрим примеры расчета цепи с последовательным, параллельным и смешанным соединением нелинейных элементов.

Р асчёт цепи с последовательным соединением нелинейных элементов. На рис. 4.12,а показана схема с последовательным соединением нелинейных резисторов R₁ и R₂. В схеме используется принятое условное обозначение нелинейных элементов. Вольтамперные характеристики для каждого нелинейного резистора представлены на рис. 4.12,в. Теперь необходимо эквивалентно объединить эти нелинейные резисторы, перейти к схеме рис. 34.12,б и для нелинейного эквивалентного резистора R_ЭКВ получить вольтамперную характеристику. Через последовательно соединённые резисторы протекает один и тот же ток, а в соответствии со вторым законом Кирхгофа напряжение на R_ЭКВ равно сумме напряжений на R₁ и R₂. Это и используется при получении ВАХ для R_ЭКВ. Задавая произвольно ток I₁ по ВАХ для R₁ и R₂ , находятся напряжения U_1,1 и U_2,1. Теперь для заданного тока I₁ определяется напряжение на R_ЭКВ (на рис.4.12,в не обозначено):

.

Осуществляя графическое суммирование напряжений U_1,1 и U_2,1, определяем напряжение U_ЭКВ,1. Координаты I₁ и U_ЭКВ,1 дают первую точку (1) для ВАХ эквивалентного резистора R_ЭКВ. Затем задаются следующие произвольные значения токов (I₂, I₃ и т. д.), находятся для них значения напряжений на R_ЭКВ и строятся точки 2 и 3 ВАХ для R_ЭКВ. Соединяя построенные точки, получится ВАХ для R_ЭКВ. Теперь с помощью имеющихся трех ВАХ рассчитаем исходную цепь (рис. 4.12,а). По заданному значению Е с помощью ВАХ для R_ЭКВ определяется ток I. Для найденного тока I с помощью ВАХ для R₁ и R₂ находятся падения напряжений на этих элементах (U₁ и U₂).

Р асчёт цепи с параллельным соединением нелинейных элементов. На рис. 4.13,а показана схема с параллельным соединением нелинейных резисторов R₁ и R₂. Вольтамперные характеристики для каждого нелинейного резистора представлены на рис. 4.12,в. Теперь необходимо эквивалентно объединить эти нелинейные резисторы, перейти к схеме рис.4.13,б и для нелинейного эквивалентного резистора R_ЭКВ (рис. 4.13,б) получить вольтамперную характеристику.

К параллельно соединённым резисторам прикладывается одно и то же напряжение, а в соответствии с первым законом Кирхгофа входной ток I_ВХ равен сумме токов I₁ и I₂. С учётом этого, задаем на графике произвольное значение напряжения U₁, для которого находим токи, протекающие через R₁ и R₂ (I_1,1 и I_2,1 соответственно). Ток в R_ЭКВ для этого напряжения равен:

.

Осуществляя графическое суммирование токов I_1,1 и I_2,1, находим ток I_ЭКВ. Координаты U₁ и I_ЭКВ дают первую точку (1) для ВАХ эквивалентного резистора R_ЭКВ. Продолжая задавать следующие произвольные значения напряжений, находим координаты ещё нескольких точек ВАХ для R_ЭКВ. Соединяя эти точки, получаем ВАХ для эквивалентного резистора. Построив ВАХ для R_ЭКВ, можно, по всем имеющимся ВАХ, осуществить расчет исходной цепи. Откладываем на графике (рис. 4.13,в) заданное значение входного ЭДС (Е) и находим значения токов I₁, I₂ и I_ВХ.

Р асчёт цепи со смешанным соединением нелинейных элементов. На рис. 4.14,а показана схема, состоящая из смешанного соединения нелинейных элементов. Для расчета этой схемы необходимо также найти ВАХ для всей схемы относительно входных клемм 1-1'. В соответствии с общими принципами эквивалентного преобразования цепи, в данной схеме вначале эквивалентно преобразуются (объединяются) параллельно соединённые резисторы R₂ и R₃ и для них, по рассмотренной выше методике, строится эквивалентная вольтамперная характеристика (на рис.4.14,б ВАХ R_{2, 3}). Затем полученная ВАХ для R_{2, 3} объединяется с ВАХ для R₁ по рассмотренной выше методике эквивалентного преобразования последовательно соединённых нелинейных элементов, которая будет являться вольтамперной характеристикой для эквивалентного сопротивления рассматриваемой схемы (на рис. 4.14,б ВАХ R_ЭКВ). Определение токов и напряжений для исходной схемы происходит в следующей последовательности. Заданное значение входной ЭДС (Е) откладывается на оси напряжений. Для этого значения Е по ВАХ R_ЭКВ находится ток I₁. По найденному току I₁ и ВАХ для R₁ и R_{2, 3} находятся напряжения U₁ и U₃. По найденному напряжению U₃ и ВАХ для R₂ и R₃ находятся токи I₂ и I₃.

П римером практического применения графического метода расчета нелинейных цепей постоянного тока может быть расчет параметрического стабилизатора напряжения (рис. 4.15,а). Эта схема используется как для стабилизации напряжения, так и для создания опорного напряжения в более сложных стабилизаторов напряжения и тока.. Она состоит из стабилитрона (VD) и балластного сопротивления (R_б). К клеммам 2-2' подключена нагрузка (R_Н). К клеммам 1-1' подается напряжение (U_ВХ), которое может изменяться в некотором интервале. Назначение схемы в том, чтобы при заметном изменении входного напряжения (U_ВХ) напряжение на нагрузке изменялось незначительно. В этом состоит смысл стабилизации (поддержание в практическом постоянстве) напряжения на нагрузке. Для выполнения графического расчета исходными являются ВАХ для всех элементов схемы - R_б, VD и R_Н. По ВАХ видно, что из трех элементов схемы только один стабилитрон является нелинейным элементом. Расчет начинается с объединения ВАХ R_Н и VD по, рассмотренной выше, методике эквивалентного преобразования параллельно соединенных элементов (рис. 4.15,б). В результате получается ВАХ для R_Н'. Затем объединяются ВАХ R_Н' и R_б по методике последовательно соединенных элементов, что дает ВАХ всей схемы относительно клемм 1-1' (ВАХ для R_ЭКВ). Допустим, что входное напряжение будет изменяться в интервале от U_{ВХ1 до} U_ВХ2 . Откладываем эти напряжения U_ВХ1 и U_ВХ2, и определяем соответствующие им напряжения на нагрузке U_Н1 и U_Н2 по рассмотренной выше методике расчёта цепей со смешанным соединением элементов. Из полученных решений можно определить интервалы изменения входного напряжения и напряжения на нагрузке:

U_ВХ=U_ВХ2-U_ВХ1 , U_Н=U_Н2-U_Н1 .

Сравнивая эти результаты, видно, что

.

Этот результат показывает, что рассмотренная схема обладает стабилизирующими свойствами.

Наглядность графического метода расчета позволяет сделать вывод как надо изменить величины R_б, R_Н и крутизну характеристики стабилитрона (выбрать другой стабилитрон), чтобы улучшить стабилизирующие свойства стабилизатора. Попробуйте это сделать самостоятельно.

4.4.2. Графический расчет нелинейных цепей переменного

тока

Обычно рассматриваются два случая расчета нелинейных цепей переменного тока - расчет по мгновенным значениям и расчет по действующим (амплитудным) значениям переменного тока.

П ри расчете по мгновенным значениям первый этап аналогичен ранее рассмотренным последовательностям, который состоит в получении ВАХ всей схемы относительно входных клемм через вольтамперные характеристики элементов схемы. Затем для каждого момента времени заданного характера изменения входного напряжения находятся значения токов и напряжений схемы. В качестве примера рассмотрим расчет по мгновенным значениям схемы однополупериодного выпрямителя (рис. 4.16).

Как видно, схема состоит из двух последовательно соединённых элементов – диода VD и нагрузочного резистора R_Н. Их ВАХ представлены на рис.4.17,а. Из характеристик видно, что резистор является линейным элементом, а диод не линейным. Из вида ВАХ диода можно сделать вывод, что при положительном напряжении на диоде его статическое сопротивление мало, а при отрицательном напряжении очень велико. Это значит, что когда к выводам 1-1' приложено переменное входное напряжение (рис.4.17,б), то при положительной полуволне через диод будет протекать большой ток, а при отрицательной полуволне через диод будет протекать ток малой величины.

Расчёт этой цепи начинается с получения эквивалентной ВАХ для всей схемы. Для этого необходимо эквивалентно преобразовать всю схему, объединив ВАХ диода и резистора, как для последовательно соединённых элементов. Результатом такого преобразования является ВАХ для R_ЭКВ (рис.4.17,а). Как и прежде, располагая ВАХ входного сопротивления всей цепи, определяем входной ток цепи для заданного входного напряжения. Входное напряжение u_ВХ , так как оно переменное, то оно задаётся в виде синусоидальной формы и представлено на рис.4.17,б. Входное напряжение изменяется во времени, поэтому ток будет определяться по значениям входного напряжения в конкретные моменты времени. Значит ток будет тоже изменяться во времени. Его будем строить на координатной системе, представленной на рис. 4.17,в. Разбиваем оси времени для напряжения и тока на одинаковые интервалы. Для каждого момента времени определяется значение входного напряжения (рис. 4.17,б, t=/4, точка 1). Для этого значения напряжения по эквивалентной ВАХ определяется значение входного тока i_ВХ1 (рис. 4.17,а, точка 1), которое соответствует значению входного тока в момент времени t=/4 и переносится на координатную плоскость тока (рис. 4.17,в, точка 1). Выбирая последующие моменты времени, определяются для них значения входного напряжения и, соответственно, значения входного тока в эти моменты времени. Соединяя плавной кривой линией полученные точки на координатной плоскости тока, строится осциллограмма входного тока (рис. 4.17,в).

Далее, как и в предыдущих случаях, после определения входного тока определяется падение напряжения на элементах схемы. Располагая найденной осциллограммой входного тока, можно найти осциллограммы напряжений на R_Н и на диоде. Тогда для каждого значения тока в определённый момент времени с помощью ВАХ для диода и сопротивления нагрузки находим падение напряжения на этих элемента в те же моменты времени. Так при t=/2 (рис. 4.17,в) ток имеет максимальное значение (точка 2). Перенося это значение тока на ВАХ для R_Н и диода VD (рис. 4.17,а, точки 2 и 2'), находим значения напряжений на этих элементах в выбранный момент времени (U_Н, U_Д). Эти значения напряжений позволяют получить точки для осциллограмм напряжений на R_Н и на VD (рис. 4.17,б, точки 2 и 2'). Выбирая значения тока для конкретных моментов времени, определяются значения напряжений на элементах схемы в эти моменты времени. Это позволяет построить осциллограммы напряжений на нагрузке u_Н и на диоде u_Д (рис. 4.17,б).

При расчете цепей переменного тока значительно чаще интерес представляют не мгновенные, а действующие значения токов и напряжений в цепи. Если в цепи нет реактивных элементов, то расчет по действующим значениям совпадает с расчетом по постоянному току - находится ВАХ для всей схемы, по заданному действующему значению определяются токи и напряжения. При несимметричных ВАХ необходимо помнить, что токи и напряжения при положительной и отрицательной полуволне будут различны. Так в рассмотренной схеме (рис. 4.16) при положительном значении приложенного напряжения ток много больше тока в цепи при отрицательном значении входного напряжения.

Особенностью графического расчета по действующему (амплитудному) значению нелинейных цепей, содержащих реактивные элементы, состоит в том, что при эквивалентном преобразовании ВАХ суммирование токов и напряжений выполняется не алгебраически, как это делалось раньше, а геометрически. Рассмотрим пример расчета цепи, состоящей из нелинейной индуктивности и резистора (рис. 4.18,а), на вход которой подается переменное напряжение с заданной частотой. На рис. 4.18,б показана векторная диаграмма для этой цепи. Здесь для удобства анализа принято, что фаза тока равна нулю. Видно, что модуль напряжения, приложенного к последовательно соединенным индуктивности и резистору равен:

. (4.13)

Это необходимо учитывать при построении ВАХ. На рис. 4.18, в представлены ВАХ резистора (1), нелинейной индуктивности (2) и ВАХ цепи относительно клемм 1-1' (3), построенной в соответствии с (4.13). Если эту ВАХ строить алгебраическим суммированием напряжений (U_R+U_L), то получится зависимость 4, что приведет к заметному искажению расчетов, так как:

.

4.4.3. Аналитический расчет нелинейных цепей

При расчете схемы часто ставится задача определения зависимости выходного сигнала от входного, то есть как изменяется выходной сигнал при изменении входного. При расчете нелинейных цепей прежде всего осуществляется аппроксимация ВАХ нелинейного элемента. Далее эта аппроксимация используется при нахождении конечного аналитического выражения. Обобщенное уравнение для сложных нелинейных цепей представляют собой нелинейные дифференциальные уравнения. Они решаются численными методами с помощью ЭВМ или аналитическими методами, такими как метод медленно меняющихся амплитуд, асимптотическим методом Крылова-Боголюбова, методом гармонического баланса [4] и др.

Рассмотрим аналитический расчет схемы 4.16. При этом допустим, что обратное сопротивление диода равно бесконечности и его ВАХ имеет вид (рис. 4.19).

Это позволит упростить аппроксимирующее выражение и использовать вместо аппроксимации (4.9) аппроксимирующее выражение степенным полиномом второй степени (4.6). Однако и здесь с целью упрощения решения следует отбросить первый член, и аппроксимация принимает вид:

. (4.14)

Для схемы (рис. 8.16) запишем уравнение по второму закону Кирхгофа:

. (4.15)

Напряжение U_Н выразим через ток диода:

. (4.16)

Из (4.16) находим U_Д:

. (4.17)

и подставляем его в (4.15):

.

Преобразуем это уравнение относительно U_Н:

, (4.18)

где .

Делая очевидные преобразования над (4.18), находим:

. (4.19)

Решение (4.19) дает зависимость U_Н от U_ВХ:

. (4.20)

Рассмотрим еще один пример аналитического расчета простейшей нелинейной цепи. На рис. 4.20,а показана нелинейная катушка индуктивности (с насыщающимся магнитопроводом), к которой приложено синусоидальное напряжение:

. (4.21)

Необходимо найти аналитическое выражение для тока, протекающего через катушку. На рис. 4.20,б показана безгистерезисная (усредненная) кривая намагничивания этой катушки.

Аппроксимацию кривой намагничивания будем осуществлять усеченным полиномом третьей степени (4.8) в виде:

, (4.22)

где Н – напряженность магнитного потока, В – магнитная индукция.

В соответствии с законом полного тока напряженность магнитного потока связана с током, протекающим через витки катушки, соотношением:

, (4.23)

где - число витков катушки и средняя длина магнитной силовой линии соответственно.

Из (4.23) находим ток:

.

Подставляя в это выражение (4.22), получаем:

. (4.24)

Магнитная индукция (В) связана с u_L известным соотношением:

. (4.25)

где S – площадь сечения магнитопровода.

Из (4.25) находим индукцию:

. (4.26)

Подстановкой (4.21) в (4.26) определяем характер изменения индукции:

, (4.27)

где - амплитуда индукции.

Искомое решение находится подстановкой (4.27) в (4.24). После простых преобразований получим:

, (4.28)

где

- амплитуда первой гармоники тока,

- амплитуда третьей гармоники тока.

На рис. 4.21 показан вид тока через нелинейную индуктивность i(t), построенный в соответствии с (4.28); как сумма первой i₁(t) и третьей i₃(t) гармоник тока.

4.5. Параметрические цепи

Элемент, у которого некоторый параметр изменяется под действием изменяющегося входного сигнала, называется параметрическим элементом. Параметрическим элементом является любой нелинейный элемент, к которому приложен изменяющийся во времени сигнал. Например, если во времени изменяется ток, протекающий через нелинейный элемент, то будет меняться в соответствии с этим статическое и динамическое сопротивления его (рис.4.6,в). Иногда это свойство нелинейных элементов используется для построения электрических функциональных устройств. Примером может служить параметрический стабилизатор (рис.4.15,а), в котором параметрическим элементом является стабилитрон.

Цепь, в которой используются параметрические свойства нелинейного элемента называется параметрической.

Свойством параметрического элемента обладает и нелинейная индуктивность, усредненная кривая намагничивания которой показана на рис.4.22,а.

И ндуктивность катушки индуктивности определяется по формуле:

, (4.29)

где _d - магнитная динамическая проницаемость и определяется по формуле:

. (4.30)

Из рис. 4.22,а видно, что если величина индукции изменяется в пределах линейного участка (1-1') кривой намагничивания, то _d остается постоянной величиной (_d1, рис.4.22,б). В этом режиме работают практически все трансформаторные узлы. Если величина индукции принимает значение, при котором рабочая точка на кривой намагничивания заходит в нелинейную область (2-2'), то _d будет изменяться в соответствии с изменением индукции (_d2, рис. 4.22,б).

Это легко проверить графически. Рассмотрим это свойство нелинейной индуктивности аналитически. Аппроксимируем кривую намагничивания (рис. 4.22,а) усеченным полиномом третьей степени:

. (4.31)

Отметим, что при аппроксимации только линейного участка кривой намагничивания в (4.31) коэффициент К₃ равен нулю. Находим _d из (4.31):

. (4.32)

Если индукция изменяется по гармоническому закону:

, (4.33)

то, подставляя (4.33) в (4.32), находим:

. (4.34)

Из (4.34) видно, что магнитная динамическая проницаемость _d зависит от времени и изменяется по гармоническому закону, как это показано на рис.4.32,б (график _d2).

Для линейного участка (1-1'), как отмечалось, коэффициент аппроксимации К₃ равен нулю, магнитная динамическая проницаемость не зависит от времени и равна:

.

И на этом участке индуктивность катушки, в соответствии с (4.29), равна:

.

Исходя из (4.34) в соответствии с (4.29) получаем выражение для индуктивности катушки:

. (4.35)

Из (4,35) следует, что на нелинейном участке кривой намагничивания (рис.4.22,а) индуктивность катушки зависит от времени и изменяется по периодическому закону. Это необходимо учитывать при аналитическом расчете нелинейных цепей, так как связь индуктивности с напряжением на катушке индуктивности принимает вид:

. (4.36)

Параметрические элементы, в том числе и рассмотренная нелинейная (параметрическая) индуктивность, позволяют создавать электротехнические устройства с новыми свойствами. Так на основе нелинейной индуктивности был разработан индуктивный параметрон, который использовался как двоичный элемент памяти, были разработаны индуктивные параметрические генераторы, обладающие многофункциональными свойствами – однофазно-двухфазным преобразованием, подавлением импульсных помех, стабилизацией выходных напряжений. Сложность параметрического явления и особенно параметрического резонанса оправдывается созданием уникальных устройств, которые не возможно реализовать другими средствами.

4.6. Контрольные вопросы

Для проверки степени усвоения материалов главы 4 рекомендуется ответить на ниже предлагаемые вопросы. Свои ответы сравните с ответами, приведёнными в конце этих вопросов.

1. Какое из приведённых выражений является аппроксимацией степенным полиномом?

А. . Б. . В. .

2. Какое из приведённых выражений используется для аппроксимации вольт амперной характеристики диода?

А. . Б. . В.

3. Укажите последовательность действий при графическом расчёте нелинейных цепей постоянного тока.

А. Находится входной ток.

Б. Строится эквивалентная ВАХ.

В. Строится ВАХ для каждого элемента цепи.

Г. Находятся токи в ветвях и напряжения на элементах.

4. Укажите последовательность действий при графическом расчёте нелинейных цепей переменного тока.

А. Строится эквивалентная ВАХ цепи.

Б. Строится ВАХ для каждого элемента цепи.

В. Для выбранных моментов времени и соответствующего значения входного напряжения находятся значения входного тока, и строится его осциллограмма.

Г. Для выбранных моментов времени и соответствующего значения входного тока находятся значения напряжений на элементах схемы.

Д. Строятся осциллограммы напряжений на элементах.

5. Укажите последовательность действий при аналитическом расчёте нелинейных цепей.

А. Находится обобщённое уравнение цепи.

Б. Составляются исходные уравнения с помощью законов Кирхгофа.

В. Выполняется аппроксимация ВАХ нелинейных элементов.

Г. Аналитическим или численным методом находится решение обобщённого уравнения для выбранной переменной.

Правильные ответы:

1.В. 2.А. 3.В, Б, А, Г. 4.Б, А. В. Г, Д. 5.В, Б, А, Г,

Заключение

Во второй части «Основы теории цепей» рассматриваются вопросы теории четырёхполюсников, фильтров, методы анализа переходных процессов и нелинейных цепей.

При изучении четырёхполюсников рассматриваются вопросы определения входных и выходных сопротивлений при произвольной нагрузке и при согласованном режиме четырёхполюсников. Здесь же изучаются вопросы видов соединения четырёхполюсников, в том числе и четырёхполюсники с обратными связями.

Знания теории четырёхполюсников в дальнейшем применяется при изучении фильтров. В этом разделе изучаются, как общие вопросы способов построения фильтров, их характеристические параметр и условия пропускания, так и фильтры, выполненные на реактивных элементах (фильтры типа-k) и с применением резонансных контуров (фильтры типа-m). Здесь же рассматриваются и безиндуктивные фильтры – способы построения и их частотные характеристики. Эти знания в дальнейшем позволяют успешно разрабатывать пассивные фильтры для радиотехнических устройств, а также позволят успешно изучать и разрабатывать активные фильтры.

Методы анализа переходных процессов в радиотехнических цепях являются одним из сложных вопросов в изучаемом курсе. В этих методах широко используются преобразования Лапласа, на которых основан применяемый операторный метод расчёта. С целью облегчения входа в изучение этого раздела, в нём рассматриваются вопросы применения преобразований Лапласа. В разделе рассматриваются законы коммутации, изучаются переходные процессы в цепях первого и второго порядка. Успешное освоение этого раздела позволит в дальнейшем успешно анализировать коммутационные процессы в радиотехнических устройствах и осуществлять анализ в устройствах, в которых коммутационный режим является рабочим.

Применяемые в радиотехнических устройствах полупроводниковые приборы (диоды, транзисторы и другие) являются нелинейными элементами. Для анализа цепей с такими элементами используются особые методы

Твёрдые знания методов анализа нелинейных цепей позволяют в дальнейшем успешно проводить графический и аналитический расчёт цепей, содержащих такие элемент, как диоды и транзисторы.

Полное изучение курса «Основы теории цепей» подготавливает студента к изучению схемотехнических дисциплин и степень освоения этих дисциплин адекватно связана с уровнем освоения курса «Основы теории цепей».