Обратный способ даёт систему
(13)
и частотное уравнение
.
(14)
Уравнения (10), (12), (14) являются алгебраическими уравнениями n-ой степени относительно ω2 . Они имеют n положительных корней, нумеруемых в возрастающем порядке
.
Такая упорядоченная совокупность частот называется спектром собственных частот.
Каждой
собственной частоте ωk
соответствует вектор Qk.
Их совокупность
образует спектр
собственных форм.
Собственные
формы находим из уравнения (9) или ему
эквивалентных (11), (13), подставляя в них
вместо
собственные частоты
.
При этом получаются три эквивалентные
системы уравнений, соответствующие
трём формам записи основного уравнения
колебаний
(15)
При этом надо иметь в виду, что каждая из алгебраических систем уравнений содержит лишь n-1 линейно независимых уравнений, так как определитель каждой из матриц коэффициентов равен нулю (из такого условия определялись k). По этой причине компоненты вектора Qк не могут быть найдены однозначно. Они определяются с точностью до произвольного постоянного множителя. Один из компонентов вектора Qк должен быть задан. Например, можно принять, что Q1к =1. Тогда остальные компоненты Qiк, i = 1, 2,..., n найдутся из любой системы (15). Таким образом, будут определены все векторы
Qk
=
,
k = 1, 2 ,… , n
спектра собственных форм колебаний.
Пример.
Пусть имеется балка с двумя массами m1
и m2 (рис. 3). Требуется
составить уравнения колебаний, определить
спектры собственных частот и форм.
Как отмечено выше, для балок удобно пользоваться обратным способом составления уравнений. Данная система имеет две степени свободы, которым соответствуют обобщённые координаты x1(t), x2(t).
Единичные
перемещения
определяются методами сопротивления
материалов, и из них составляется
соответствующая матрица второго порядка
D
=
.
Далее легко выписываются инерционная и единичная матрицы
A=
,
E =
.
Уравнения колебаний, в силу того, что применяется обратный способ составления, имеют вид (6), (7), т. е.
.
(16)
Подстановка (8) в (16) даёт матричное уравнение
(Е- DA)Q = 0.
Ему соответствует частотное уравнение
det (Е- 2 DA) = 0,
или
.
Запишем в развернутой форме
.
(17)
Уравнение (17) является биквадратным. Решая его, находим положительные корни, т. е. спектр собственных частот
.
В третье уравнение (15) поочередно будем подставлять 1, 2. Полученная система уравнений каждый раз имеет вид
k = 1, 2.
Принимаем Q1k =1 (можно и Q2k = 1), а Q2k находим из любого уравнения, например, из первого
Q2k
=
или второго
Q2k
.
По предложенной методике вектор Qk будет иметь вид
Qk
=
,
k = 1, 2.
Ему соответствует спектр собственных форм
Q
= (
Собственные формы Q1 и Q2 изображены на рис. 3.