5. Демпфирование колебаний
5.1. Диссипативные силы
До
сих пор рассматривались идеализированные
системы, в которых отсутствовали силы
сопротивления. Изучая, например, свободные
колебания, мы имели дело с автономной
консервативной системой, т. е. в уравнении
время явно не присутствует, а полная
механическая энергия системы остается
постоянной величиной. Поэтому в
колебательной системе поддерживается
неограниченно долго процесс, заданный
начальными возмущениями
и
Между тем свободные колебания с течением
времени затухают. Причина в том, что
энергия тела, деформированного
первоначально, постепенно и необратимо
поглощается и рассеивается, преобразуется
или обращается в тепло. Эту необратимую
работу совершают диссипативные
силы. К таким
силам относятся :
1)Силы внутреннего трения: внутри материала, в опорах и сочленениях системы (конструкционное трение).
2)Силы внешнего трения: в опорах, сопротивление среды (воздуха, жидкости). Особенно значительные диссипативные силы возникают в специально устроенных демпферах (гидравлических, пневматических амортизаторах; успокоителях колебаний, основанных на действии токов Фуко, и других технических устройствах).
Н
аправление
диссипативных сил в любой момент процесса
движения противоположно скорости
движения, причём величина силы, как
правило, связана с величиной скорости
соотношением
Простейшим элементом трения является вязкий демпфер, изображённый на рис. 1. Показан рисунок, близкий к реальному, и условный элемент, заменяющий демпфер в расчётных схемах. Зависимость силы трения от скорости может быть линейной (рис. 2) или нелинейной (рис. 3). В первом случае зависимость имеет вид
г
де
-
коэффициент
вязкого сопротивления.
Ко второму случаю, например, относится
квадратическая функция
Здесь и далее применяется обозначение сигнум для функции действительного переменного х, обладающей свойствами
sgn
x
=
В конструкциях демпферов часто используют элементы сухого трения, характеристики которых соответствуют простейшему закону Амонтона – Кулона (рис. 4)
.
5.2. Внутреннее трение
При отсутствии специальных демпферов чаще всего главную роль играют факторы внутреннего трения в материале или иначе – внутреннее трение в конструкции.
Е
сли
бы материал был идеально упругим, то
диаграмма перемещений при колебаниях
была бы прямой ab
(рис. 1). Но есть внутреннее трение, оно
нелинейное и график представляет петлю
гистерезиса:
при установившихся циклах вынужденных
колебаний в виде эллипса (рис. 2), а при
свободных колебаниях в виде спирали
(рис. 3).
Площадь
замкнутой петли гистерезиса равна
работе
совершаемой силами внутреннего трения
за один цикл деформации. Площадь
заштрихованного треугольника (рис. 2)
равна наибольшему значению потенциальной
энергии упругих сил П.
Их значения следующие
,
Отношение
х
арактеризующее
величину рассеянной энергии, называется
коэффициентом
поглощения энергии.
График затухающих колебаний имеет вид, изображённый на рисунке 4. Определим по нему коэффициент поглощения энергии, полагая, что ΔА = ΔП
.
(1)
Знак
минус здесь появился потому, что
коэффициент
является положительной величиной в то
время, как дифференциал потенциальной
энергии является отрицательной величиной.
Найдём его
.