Свойства собственных частот и собственных форм колебаний
В уравнении (9) матрицы А и С – симметричные, Квадраты собственных частот 2 равны собственным значениям матрицы А-1С, а собственные формы Q равны собственным векторам этой матрицы. Из известных теорем алгебры матриц следуют свойства:
1) Собственные частоты вещественны. Это свойство является следствием известной теоремы для эрмитовых (в данном случае симметричных) матриц.
2) Собственные формы, соответствующие различным собственным частотам, попарно ортогональны с весом матрицы А, т. е.
Ql
= 0, k
l.
В развернутой форме это соотношение имеет вид
Qjl
= 0,
k
l.
3) Собственные формы, соответствующие различным собственным частотам, попарно ортогональны с весом матрицы С
СQl
= 0, k
l.
В развернутом виде
Qjl
= 0, k
l.
Свойства 2), 3) являются следствием теоремы об обобщённой унитарности собственных векторов общей задачи на собственные значения матриц [6].
4) Собственные формы Q1, Q2,…, Qn являются линейно независимыми и образуют базис в n- мерном векторном пространстве. Это означает, что каждый вектор такого пространства может быть однозначно выражен в виде линейной комбинации от Q1, Q2,…, Qn .
Все решения вида (8) удовлетворяют системе уравнений (2). Значит, линейная комбинация из решений, соответствующих каждому номеру k является общим решением
qi(t)
=
,
i = 1, 2, …, n.
В формулу входят 2n произвольных постоянных
Dk,
,
k = 1, 2, …, n.
Они могут быть определены из начальных условий движения. Для этого при t = 0 должны быть заданы перемещения и скорости всех масс.
3. Вынужденные колебания
При гармонических возмущениях уравнение вынужденных колебаний, порождённое уравнением (1.1), имеет вид
.
(1)
Здесь P - вектор амплитуд внешних вынуждающих сил
P
=
Наиболее важной задачей о вынужденных колебаниях является задача об установившихся колебаниях (не зависящих от начальных условий). Рассмотрим её подробно. С этой целью представим стационарное решение уравнения (1) как равенство
q(t) = Q cos t, (2)
где Q - вектор амплитуд обобщённых координат. Подставим (2) в (1), сократим результат на cos t и получим систему линейных алгебраических уравнений относительно амплитуд перемещений
(C- 2A)Q = P. (3)
Решение этой системы линейных алгебраических уравнений существует, если
det (C- 2A) 0,
и имеет вид
Q = (C- 2A)-1P.
Определитель
матрицы системы (3) равен нулю, когда
=
k,
k = 1, 2, …, n,
так как из этого
условия определены собственные частоты
.
В этом случае имеет место резонанс, т.
е. амплитуды равны бесконечности. Однако
возможны случаи, когда при совпадении
частот
=
k
резонанса
не будет. Они реализуются при выполнении
дополнительного условия
,
о
значающего,
что сумма работ, совершаемых внешними
силами на перемещениях по k-ой
форме собственных колебаний, равна
нулю. У балки, изображённой на рис. 1,
вторая собственная форма в силу её
кососимметричности такова, что
Q12 = - Q22,
а
P
=
и
(P,
Q2)
=
.
Значит, резонанса на второй собственной частоте не будет.
Пример. Пусть имеется система с двумя массами m1 и m2 (рис. 2). Требуется составить уравнения колебаний, определить компоненты вектора амплитуд.
Данная система обладает двумя степенями свободы, которым соответствуют обобщённые координаты в виде перемещений масс x1(t) и x2(t), показанных стрелками Уравнения колебаний составляются легко прямым способом и имеют вид
Таким образом.
А =
С =
,
P =
.
Алгебраическая система уравнений относительно вектора амплитуд записывается в стандартном виде и затем конкретизируется
(C-
ω2A)Q
=
.
Отсюда легко находим
,
.
Из первого выражения видно, что Q1 = 0, при = ω* = (с2/m2)1/2. Это значит, что масса m1 при колебаниях всей системы остается неподвижной при такой частоте силы. Данное явление называется антирезонансом. Амплитудно-частотная характеристика колебаний первой массы показана на рис. 3.
В технике антирезонанс используется для устройства динамических гасителей колебаний. С этой целью к конструкции специально присоединяют дополнительную массу на пружине, которая обращает в нуль (по крайней мере, существенно уменьшает) амплитуду колебаний основной массы конструкции.