- Функция распределения амплитуды напряжений вдоль оси стержня.

Вычисляя по этим формулам, следует помнить что , и, причём, ω

принимает значения собственной частоты

n = 1, 2, …

При этих значениях cos , так как именно из этого условия находились . Из этого следует, что , и это верно, так как в данной задаче соответствует концу стержня, где нормальные напряжения . Результаты вычислений для первых трёх собственных частот и форм показаны на рис. 1. Продольная сила N получается из этих результатов путем простого умножения на площадь поперечного сечения S.

П ри вынужденных колебаниях

.

Следуя (1), можно получить функцию напряжений

,

где введено обозначение для амплитуды напряжений

. (3)

Для задач, рассмотренных выше, амплитуды составят:

1 )При динамическом нагружении правого конца (рис. 2) функция амплитуд колебаний в силу (3.2.3) имеет вид

.

С помощью (3) имеем для амплитуды напряжений

(4)

Отсюда следует

Последнее соответствует статическому приложению силы с хорошо известным результатом.

2 )При кинематических возмущениях левого конца (рис. 3) выше получена формула

.

Она даёт амплитуду напряжений и её свойства

(5)

В обоих случаях из cos k = 0  , так как при этом частота возмущений совпадает с собственными частотами . Значит, резонанс приводит к бесконечным значениям амплитуды напряжений.

По формулам (4), (5) можно построить эпюры напряжений, которые позволяют проводить расчёты на прочность.

4. Крутильные колебания круглых стержней

Стержень круглого поперечного сечения совершает крутильные колебания вокруг продольной оси (рис. 1). Его поперечные сечения при этом остаются плоскими и поворачиваются вокруг оси как жёсткие диски. Р ассмотрим элемент стержня длиной dx. Его левый торец с координатой х поворачивается на угол φ(х, t), а правый – на φ + φ'dx. Найдём относительный угол закручивания

.

Из курса сопротивления материалов

, (1)

G- модуль сдвига материала, J - геометрический полярный момент инерции.

С вободные крутильные колебания стержней состоят в периодических поворотах сечений вокруг оси x-ов то в одну, то в другую сторону. При таких вращениях возникает даламберов момент инерции массы (рис. 2)

. (2)

Здесь - осевой (относительно оси x) момент инерции массы для участка стержня единичной длины, -плотность материала, - угловое ускорение при вращениях сечения. По принципу Даламбера (см. рис. 2) с учётом крутящих моментов в сечениях составляем уравнение движения

, .

Подставим в него (1), (2) и получим

или

– a² = 0, a² = G/ρ, x (0, l), t > - . (3)

Уравнение (3) в принципиальном плане ничем не отличается от уравнений колебаний струны и стержней, и будет иметь те же решения, получаемые теми же способами и методами. К уравнению (3) присоединяются граничные условия, зависящие от конкретного способа закрепления концов. Н а рис. 3 приведены наиболее характерные случаи.

Решение задачи даёт φ(x, t) – функцию пространственной и временной координат. После этого можно определить для решения вопросов прочности крутящий момент в сечении и касательные напряжения

ρ – полярная координата.