3. Продольные колебания стержней
3.1. Свободные колебания
О
днородный
стержень (рис. 1) постоянного сечения из
материала с модулем упругости Е,
с погонной массой m
= ρS,
где ρ - плотность
материала, S
- площадь поперечного сечения,
совершает свободные колебания в
продольном направлении. Выведем уравнение
колебаний. Будем полагать, что гипотеза
плоских сечений справедлива, поперечными
перемещениями частиц массы будем
пренебрегать. Перемещения сечений
характеризуются функцией u(x,
t).
Возьмём элемент стержня (рис. 1) и определим
относительную деформацию. Как известно,
.
Из рисунка
.
Следовательно,
.
Рассмотрим колебания выделенного элемента длиной dx (рис. 2). К нему приложены продольные силы в сечениях N, N + N'dx и даламберова сила инерции
.
По закону Гука
(1)
Проектируя все силы на ось х - ов, в соответствии с принципом Даламбера имеем
.
Учтем (1) и получим
.
Упростим результат и запишем
,
x
(0, l), t
> -
.
(2)
Получено основное дифференциальное уравнение для задачи о колебаниях стержней. Оно принципиально ничем не отличается от уравнений колебаний струны. Если, например, концы стержня неподвижны (рис. 3), то
u(0, t) = 0, u( , t) = 0, t > - , (3)
и задача о продольных колебаниях стержня (2), (3) точно совпадает с задачей о поперечных колебаниях струны.
Граничные условия, добавляемые к уравнению (2), могут быть разнообразными и зависят от конкретных условий закрепления концов. Приведём наиболее часто встречающиеся варианты (рис. 4). При этом на рисунках обозначено: с – коэффициент жёсткости пружины, М – сосредоточенная масса.
Р
ассмотрим
конкретный случай.
Пример. Определить спектры собственных частот и форм стержня с защемлённым и свободным концами (рис. 5). Модуль упругости Е и плотность материала ρ заданы.
К
уравнению (2) добавляются граничные
условия
u(0, t) = 0, u'( , t) = 0, t > - . (4)
Воспользуемся ранее полученными результатами для струны. Выпишем общее решение уравнения (2)
u(x, t) =X(x)eiωt (5)
и форму колебаний
X(x)
= C sin kx
+ D cos kx,
k = ω/a,
.
(6)
Граничные условия (4) и представление (5) дают
X(0)
= 0,
.
(7)
Дифференцируя (6), получим
X'(x) = k(C cos kx + D sin kx). (8)
Подставив (6), (8) в (7) и выполнив несложные преобразования, имеем
D =
0, C
,
,
Отсюда имеем спектр собственных частот
(9)
С учётом этих результатов получим функцию
Xn(x) = C sin knx (10)
и
спектр собственных форм колебаний
φ(x)
= sin knx
=
n = 1, 2, … (11)
При
м, Е = 200 ГПа, ρ = 7800 кг/м3 формула (9)
приводит к трём первым значениям
ω1 = 7954 с-1, ω2 = 23862 с-1, ω3 = 39770 с-1.