14. Производящее уравнение или управляющее уравнение — феноменологическое уравнение, описывающее эволюцию системы во времени. Оно имеет вид:

,где

• и   — вероятности того, что система находится в состояниях k и   соответственно;

• — вероятности перехода системы из состояния k в состояние  .

Поскольку в общем случае возможны обратные переходы   с вероятностью  , то производящее уравнение следует записать таким образом:

.

15. Потоки и силы

В рамках классической неравновесной термодинамики описание необратимых процессов происходит при помощитермодинамических сил и термодинамических потоков. Основанием для введения данных величин является то, что через них производство энтропии выражается в простой форме. Дадим явные выражения для различных сил и потоков. Из приведенного выше выражения для производства энтропии видно, что σ представляет собой билинейную форму:

σ =	∑	JαXα
	α

, где J_α — термодинамический поток, X_α — термодинамическая сила. Следует особо подчеркнуть произвольность разделения на термодинамические потоки и силы. Например, множитель   можно отнести не к силе, а к потоку. Силы и потоки можно даже поменять местами, однако всё же естественно считать, что термодинамические силы порождают термодинамические потоки, как градиент температуры порождает поток теплоты. Пример разделения сил и потоков показан в таблице:

Сила Xα
Поток Jα			p^ν

Потоки являются неизвестными величинами, в отличие от сил, которые представляют собой функции от переменных состояния и/или их градиентов. Экспериментально установлено, что потоки и силы связаны друг с другом, причем заданный поток зависит не только от своей силы, но может зависеть также от других термодинамических сил и от переменных состояния:

Соотношения такого вида между потоками и силами называются феноменологическими соотношениями или материальными уравнениями. Они в совокупности с уравнениями баланса массы, импульса и энергии представляют замкнутую систему уравнений, которая может быть решена при заданных начальных и граничных условиях. Так как в положении термодинамического равновесия силы и потоки обращаются в нуль, то разложение материального уравнения вблизи положения равновесия принимает следующий вид:

Величины L_αβ называются феноменологическими коэффициентами и в общем случае зависят от переменных состояния T, p и c_k. Важно отдавать себе отчет в том, что, например, такая сила, как   способна вызывать не только поток теплоты  , но электрический ток  . На феноменологические коэффициенты накладывается ряд ограничений, подробнее о них изложено всоответствующей статье.

Другим важным результатом, полученном в рамках линейной неравновесной термодинамики является теорема о минимуме производства энтропии:

В линейном режиме полное производство энтропии в системе, подверженной потоку энергии и вещества, в неравновесномстационарном состоянии достигает минимального значения.

Так же в это случае (линейный режим, стационарное состояние) показано, что потоки с собственными нулевыми силами равны нулю. Таким образом, например, при наличии постоянного градиента температуры, но при отсутствии поддерживаемого градиента концентрации система приходит к состоянию с постоянным потоком тепла, но с отсутствием потока вещества.