КР 3, Вар 3

3.Дифференциальное исчисление

123. Найти производную данных функций:

а)

б)

в)

г)

Прологарифмируем обе части уравнения и преобразуем равенство Прологарифмируем обе части равенства

д)

Дифференцируем обе части равенства, учитывая, что у есть функция от х, получим

или

133. Найти и

а) y= x²lnx

б) х=t+½sin2t

y=cos³t

Находим

143.В прямоугольной системе координат через точку (1;2) проведена прямая с отрицательным угловым коэффициентом, которая вместе с осями координат образует треугольник. Каковы должны быть отрезки, отсекаемые прямой на осях координат, чтобы площадь треугольника была наименьшей?

У

A

(1,2)

равнение прямой задается уравнением y=kx+b, т.к. прямая проходит через точку (1;2), то подставляя координаты в уравнение, получим

2=k+b

k=2-b (*)

г

B

де к<0 (т.к. прямая АВ образует с Ох тупой угол) и b>2

Н

айдем отрезки, которые отсекает прямая с осями координат:

с Оу: х=0 у=b, след. длина отрезка ОА=b;

с Ох: у=0 kx+b=0 , подставим вместо k замену (*) получим . Длина отрезка ОВ=.

Площадь треугольника равна

S(b)=

=0 при b=4, b=0 ( не удовлетворяет условию b>2) ,

S(b)

4

-

+

S(b)

b=4 точка минимума функции. Значит площадь треугольника, на отсекаемых прямой на осях принимает наименьшее значение при ОА=4 и ОВ=

153. Провести полное исследование функции и построить ее график

1) Область определения D(y)=

2) Т.к. область определения не симметрична относительно начала координат, то функция не является ни четной, ни нечетной.

3) Точки пресечения с осями координат

с Ох : у=0 х=0 т.(0; 0)

с Оу: х=0 у= 0 т.(0; 0)

4) Функция непериодическая.

5) Асимптоты

Т.к. точка разрыва 1, то находим пределы :

Прямая х=1 вертикальная асимптота.

Значит, у=0 горизонтальная асимптота

Проверим, существует ли наклонная асимптота.

, т.е. наклонной асимптоты нет.

5)Промежутки возрастания, убывания, точки экстремума

=0 х=-1 критическа

у

я точка

-

-

+

-1

1

у

точка разрыва

min

Функция возрастает на промежутке (-1;1) и убывает на промежутках (-∞;-1) и (1;0), х=-1 точка минимума у(-1)= 0,25, х=1 точка разрыва функции

6) Выпуклость, вогнутость функции

=0 при х=-2, т.е.

y''

у

+

+

-

1

-2

Функция вогнута на промежутках (-2;1) и (1; +∞) и выпукла на промежутке (-∞;-2).

По результатам исследования функции строим график.

163. Дана функция . Показать, что

Найдем

, что и требовалось показать.

173. Даны функции и две точки А(-2,2) и В(-2,02;2,05). Требуется: 1) вычислить значение z₁ функции в точке В; 2) вычислить приближенное значение z₁ функции в точке В, исходя из значений z₀ функции в точке А, заменив приращение функции при переходе от точки А к точке В дифференциалом, и оценить в процентах относительную погрешность, возникающую при замене приращения функции её дифференциалом; 3) составить уравнение касательной плоскости к поверхности z=f(x,y) в точке С(х₀,у₀,z₀).

1)

2) Будем рассматривать z(B) как частное значение функции при x = -2.02 = x₁, у = 2.05 = у₁. За x₀ принимаем число -2, за у₀ –число 2.

Тогда z(x₀,y₀) = ;

Переведём dx в радианы dx = x₁ – x₀ = -2,02+2=-0,02,

dy = y₁ –y₀ = 2,05-2= 0,05

Тогда получим:

 z(x₀,y₀) +(x₀,y₀)dx+(x₀,y₀)dy=12-5*(-0.02)+5*0.05=12.35

Оценим погрешность: %

3) Составим уравнение касательной плоскости к поверхности z=f(x,y) в точке С(1,2,11). Искомое уравнение имеет вид: .