кр № 5 вариант 3
.doc5. Дифференциальные уравнения
223. Найти общее решение дифференциального уравнения первого порядка:
Разделим обе части уравнения на ху:
Сделаем замену:
Проинтегрируем обе части уравнения:
– решение дифференциального уравнения.
233. Найти частное решение дифференциального уравнения , удовлетворяющего начальным условиям.
,
Рассмотрим однородное уравнение:
– решение однородного уравнения. Частное решение общего уравнения будем искать в виде .
Тогда общее решение имеет вид:
.
Тогда частное решение имеет вид:
.
243. Найти общее решение системы дифференциальных уравнений.
Продифференцируем второе уравнение системы: . Выразим из второго уравнения системы х: и подставим его в первое уравнение системы:. Подставим это выражение в продифференцированное второе уравнение системы:
Перейдём к характеристическому уравнению:
Подставляем это выражение во второе уравнение системы:
Тогда решение имеет вид:
253. Катер движется в спокойной воде со скоростью . На полном ходу двигатель катера был включён, и через 2 мин. Скорость катера уменьшилась до . Определить скорость, с которой двигался катер через 40 с после выключения двигателя, считая, что сопротивление воды пропорционально скорости движения катера.
Обозначим через v-скорость катера, через t- время, отсчитываемое с начального момента. За промежуток времени dt скорость катера уменьшается на dv км/ч, к- коэффициент пропорциональности . Начальные условия имеют вид:
Запишем уравнение в виде:
Проинтегрируем обе части уравнения:
Найдём С и к, подставляя начальные условия:
Необходимо вычислить , где .
Значит, через 40 секунд скорость катера была 3,684 км/ч.