КР 3, Вар 2
.docКонтрольная работа № 3. Введение в математический анализ
Задачи 81–90
Выделив в заданной функции полный квадрат, получить уравнение параболы и построить её график.
Задача 82: .
Решение:
Выделим в заданной функции полный квадрат
Теперь применим метод преобразования координат. Известно, что график функции получают путем переноса графика вверх или вниз вдоль оси OY на в зависимости от знака b, график функции получается параллельным переносом графика при в положительном направлении оси ОХ на с, и в отрицательном направлении этой оси при , а график функции получается растяжением графика вдоль оси ОY в А раз при или сжатием вдоль этой оси в А раз при . Тогда график исходной функции можно построить, переместив вершину параболы в точку , перевернув ее ветвями вниз и затем растянув параболу в 4 раза вдоль оси OY.
Задачи 91–100
Задана функция на отрезке . Требуется: 1) построить график функции в полярной системе координат по точкам, давая аргументу значения через промежуток ; 2) найти каноническое уравнение полученной линии в прямоугольной декартовой системе координат, начало которой совпадает с полюсом, а положительная полуось абсцисс – с полярной осью, и по уравнению определить тип линии.
Задача 92: .
Решение:
-
Составим таблицу значений:
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
1,20 |
1,24 |
1,36 |
1,59 |
2,00 |
2,69 |
3,78 |
5,21 |
1,20 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6,00 |
5,21 |
3,78 |
2,69 |
2,00 |
1,59 |
1,36 |
1,24 |
1,20 |
6,00 |
Для вычерчивания линии проведем радиусы-векторы, соответствующие углам , взятым с интервалом . На каждом из этих радиусов-векторов откладываем отрезки, равные значению r при соответствующем значении из таблицы . Соединяя точки, являющиеся концами этих отрезков, получаем график данной линии:
Задачи 101–110
Найти указанные пределы, не пользуясь правилом Лопиталя.
Задача 102: 1) ; 2) ; 3) .
Решение:
.
Задачи 111–120
Найти указанные пределы, используя эквивалентные бесконечно малые функции.
Задача 112: 1) ; 2) .
Решение:
.
Задачи 121–130
Задана функция различными аналитическими выражениями для различных интервалов изменения аргумента. Найти точки разрыва функции, если они существуют, и установить их тип. Сделать чертёж.
Задача 122:
Решение:
Область определения функции f(x) – вся числовая ось. Разрывы возможны только в точках x = 0 и x = 4, в которых изменяется аналитическое задание функции.
Найдем односторонние пределы в точке x = 0 и значение функции в этой точке:
Следовательно, в точке x = 0 функция имеет разрыв 1-го рода, т.к. значение функции в этой точке не совпадает со значениями предела функции слева в этой точке.
Рассмотрим точку x = 4:
Так как односторонние пределы функции слева и справа конечны и равны значению функции в этой точке, то функция при х = 4 непрерывна.