кр по вышке №3
.docКонтрольная работа № 3
ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
Задачи 81-90. 1) Выполнить действия над комплексными числами, записав результат в показательной форме; 2) найти все корни уравнения.
81.1) ; 2)
Решение:
1) Умножим числитель и знаменатель выражения на комплексное число (1+i)7 и получим . Найдем произведение , а также возведем 1+i в квадрат . Подставив полученные значения в выражение, найдем . Поскольку i8 представимо в виде i4k, где k=0,1,2,… , а i4k=1, то и i8=1. Откуда .Представляя результат в показательной форме, получим 2=reiφ=2e0=2 (где φ=0).
2) Представим комплексное число в тригонометрической форме: . Далее используя формулу , получим
Подставляя k, φ=0 и , найдем
Задачи 91-100. Построить график функции y=F(x), используя преобразования графика известной функции f(x).
91..
Решение:
График функции на отрезке x=[-10;10] выглядит следующим образом ( рис.1). Представим искомый график функции . График функции является зеркальным отражением графика известной функции относительно оси абсцисс, параллельно смещенной вдоль оси ординат на 2 единицы (рис.2). Поскольку в составе функции выражение в модуле, то на полуинтервале x=(0;0.5], участок графика функции, лежащий ниже оси абсцисс, зеркально отразится относительно этой оси (рис.3).
Задачи 101-110. Вычислить пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя.
101. 1) ; 2) ; 3) ;
4) ; 5) ; 6) .
Решение:
1) Непосредственно подставляя аргумент x=1, получаем в числителе , а в знаменателе бесконечно малую функцию: . Поэтому .
2) Подстановка предельного значения аргумента приводит к неопределенности . Разделим числитель и знаменатель на старшую степень аргумента, т.е. на x3. Получим , так как при — бесконечно малые функции.
3) Подставляя предельное значение аргумента, получим неопределенность вида . Избавимся от иррациональности в знаменателе, домножив числитель и знаменатель на . Получим
Подставляя предельное значение аргумента, получим .
4) Пределы числителя и знаменателя при равны 0, т.е. имеем неопределенность . Разделим числитель и знаменатель на 3x. Воспользуемся первым замечательным пределом и получим: .
5) Разделим числитель и знаменатель на x и подставим., так как при — бесконечно малая функция.
6) Разделим числитель и знаменатель на x и после преобразований получим:
В знаменателе получили 12, поскольку при бесконечно малые функции. Произведем замену . Используя второй замечательный предел, найдем .
Задачи 111-120. Исследовать функцию f(x) на непрерывность и построить ее график.
111.
|
Решение:
Функция –x непрерывна на , функция (x 1)2 — на , функция x 3— на , значит, f(x) непрерывна на . Остается исследовать точки x1=0 и x2=2. Находим правые и левые пределы функции в этих точках. Функция f(x) в точке x1=0 имеет разрыв первого рода, поскольку правый и левый пределы функции в этой точке не равны друг другу: . Скачок функции в точке x1=0 равен -1. Функция f(x) в точке x2=2 непрерывна: .
График функции (рис.1) состоит из 3 частей: 1) y=-x, x 0 ( зеркальное отражение графика функции y=x относительно оси абсцисс); 2) y=-(x-1)2, 0 < x < 2 ( зеркальное отражение графика функции y=x2 относительно оси абсцисс, смещенное вправо вдоль оси абсцисс на 1 единицу); 3) y=x-3, x 2.