кр вышка 5 вар 5
.docУЧРЕЖДЕНИЕ ОБРАЗОВАНИЯ
БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
ИНФОРМАТИКИ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ
Факультет заочного и дистанционного обучения
Специальность: Искусственный Интеллект
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ №5
Вариант №5
№1
235. Дана функция Показать, что
Решение
= –
=
= () = (– ) = 2
= () = () = –
= () = () = 0
Подставим , , в уравнение () + 2ху() + ()
(2 ) + 2ху(– ) + (0) = (2) – (2) + 0 = 0
№2
245. Дана функция z=f(x, y) и две точки А(х0 , y0) и В (х1,,y1). Требуется: 1) вычислить значение z1функции в точке В; 2) вычислить приближенное значение функции в точке В исходя из значения z0 функции в точке А, заменив приращение функции при переходе от точки А к точке В дифференциалом; оценить в процентах относительную погрешность, возникающую при замене приращения функции ее дифференциалом; 3) составить уравнение касательной плоскости к поверхности z=f(x, y) в точке С (x0, y0, z0).
А (1, 3), В (0,96, 2,95).
Решение
1) Вычислим значение z1функции в точке В :
= (0,96)2 + 3(0,96*2,95) – (2,95)2 = 0,9216 + 8.496 – 8.7025 = 0,7151
2) Вычислим приближенное значение:
= (1)2 + 3(1*3) – (3)2 = 1
= -0,04, = -0,05, z + df(A)
df(A) = +
= 2x + 3y, = 10
= 3x – 2y, = -3
z 1 + (10*(-0,04) + (-3)*(-0,05)) = 1 – 0,25 = 0,75
Относительная погрешность равна:
= *100% = *100% 4,9%
3) Уравнение касательной плоскости к поверхности z=f(x, y) в точке С (x0, y0, z0):
z – z0 = (2x0 + 3y0)(x-x0) + (3x0 – 2y0)(y – y0)
№3
255. Найти наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой области.
в прямоугольнике 0 x3, 0y4.
Решение
= y – 2
= x – 1
Найдем стационарные точки
y – 2 = 0, y = 2
x – 1 =0, x = 1
Точка (1,2) находится в области 0 x3, 0y4 , найдем значение функции в этой точке
z(1,2) = -2
x = 0, = -y, где y принадлежит [0;4], = -1, при любых y.
y = 0, = -2x, где х принадлежит [0;3], = -2, при любых x.
x = 3, = 2y – 6, где y принадлежит [0;4], = 2, при любых y.
y = 4, = 2x – 4, где х принадлежит [0;3], = 2, при любых x.
Найдем значения функции z в точках (0,0), (0,4), (3,0), (3,4)
z(0,0) = 0, z (0,4) = -4, z (3,0) = -6, z (3,4) = 2
Сравним значения z(0,0), z (0,4), z (3,0), z (3,4), z(1,2)
zmax = 2 в точке (3,4), zmin = -6 в точке (3,0)
№4
265. Дана функция z=z(x, y), точка A(x0, y0) и вектор а. Найти:
1) grad z в точке А; 2) производную в точке А в направлении вектора а.
А (1, 1), а = 6i - 8j .
Решение
1) grad Z(A) =
Найдем частные производные функции z в точке A
= 10xy + 3y2 , = 13
= 5x2 + 6xy , = 11
Тогда grad Z(A) =
2) Найдем производную в точке A в направлении вектора
Найдем единичный вектор вектора
= = – , где = = 10
Отсюда = ,
13* + 11* = = 16
№5
275. Найти формулу вида у=ах+b методом наименьших квадратов по данным опыта (таблицы)
Решение
Система линейных уравнений для определения параметров а и b имеет вид
Составим таблицу
i |
xi |
yi |
xi yi |
xi2 |
1 |
1 |
4,1 |
4,1 |
1 |
2 |
2 |
5,1 |
10,2 |
4 |
3 |
3 |
3,6 |
10,8 |
9 |
4 |
4 |
1,6 |
6,4 |
16 |
5 |
5 |
2,1 |
10,5 |
25 |
15 |
16,5 |
42 |
55 |
Система принимает вид
а = -0,75
b = 5,55
y = -0,75x + 5,55